Để chứng minh rằng các đoạn thẳng \( DM, AN, BP, CQ \) giao nhau tạo thành hình vuông, ta có thể làm theo các bước sau:

**Bước 1: Xác định tọa độ các điểm**

Cho hình vuông \( ABCD \) có các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, a) \)
- \( D(0, a) \)

Các điểm trung điểm \( M, N, P, Q \) được xác định như sau:
- \( M \) là trung điểm của \( AB \) nên có tọa độ:
\[
M\left( \frac{a}{2}, 0 \right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( BC \) nên có tọa độ:
\[
N\left( a, \frac{a}{2} \right)
\]
- \( P \) là trung điểm của \( CD \) nên có tọa độ:
\[
P\left( \frac{a}{2}, a \right)
\]
- \( Q \) là trung điểm của \( DA \) nên có tọa độ:
\[
Q\left( 0, \frac{a}{2} \right)
\]

**Bước 2: Tìm phương trình các đường thẳng**

1. **Đường thẳng \( DM \)**:
- Điểm \( D(0, a) \) và điểm \( M\left( \frac{a}{2}, 0 \right) \).
- Độ dốc \( k_{DM} = \frac{0 - a}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{-2a}{a} = -2 \).
- Phương trình đường thẳng:
\[
y - a = -2(x - 0) \implies y = -2x + a
\]

2. **Đường thẳng \( AN \)**:
- Điểm \( A(0, 0) \) và điểm \( N\left( a, \frac{a}{2} \right) \).
- Độ dốc \( k_{AN} = \frac{\frac{a}{2} - 0}{a - 0} = \frac{1}{2} \).
- Phương trình đường thẳng:
\[
y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0) \implies y = \frac{1}{2}x
\]

3. **Đường thẳng \( BP \)**:
- Điểm \( B(a, 0) \) và điểm \( P\left( \frac{a}{2}, a \right) \).
- Độ dốc \( k_{BP} = \frac{a - 0}{\frac{a}{2} - a} = \frac{a}{-\frac{a}{2}} = -2 \).
- Phương trình đường thẳng:
\[
y - 0 = -2(x - a) \implies y = -2x + 2a
\]

4. **Đường thẳng \( CQ \)**:
- Điểm \( C(a, a) \) và điểm \( Q\left( 0, \frac{a}{2} \right) \).
- Độ dốc \( k_{CQ} = \frac{\frac{a}{2} - a}{0 - a} = \frac{-\frac{a}{2}}{-a} = \frac{1}{2} \).
- Phương trình đường thẳng:
\[
y - a = \frac{1}{2}(x - a) \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{a}{2}
\]

**Bước 3: Tìm giao điểm của các đường thẳng**

Ta cần tìm giao điểm của các đường thẳng \( DM \) và \( AN \):
1. Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = -2x + a \\
y = \frac{1}{2}x
\end{cases}
\]

Thay \( y \) của phương trình \( AN \) vào phương trình \( DM \):
\[
\frac{1}{2}x = -2x + a \implies \frac{5}{2}x = a \implies x = \frac{2a}{5}
\]

Thay giá trị \( x \) vào phương trình \( AN \):
\[
y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{5} = \frac{a}{5}
\]

Vậy giao điểm \( I_1 = \left( \frac{2a}{5}, \frac{a}{5} \right) \).

Tiếp tục với giao điểm của các đường thẳng \( BP \) và \( CQ \):
2. Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = -2x + 2a \\
y = \frac{1}{2}x + \frac{a}{2}
\end{cases}
\]

Thay \( y \) của phương trình \( CQ \) vào phương trình \( BP \):
\[
\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} = -2x + 2a \implies \frac{5}{2}x = \frac{3a}{2} \implies x = \frac{3a}{5}
\]

Thay giá trị \( x \) vào phương trình \( CQ \):
\[
y = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{5} + \frac{a}{2} = \frac{3a}{10} + \frac{5a}{10} = \frac{8a}{10} = \frac{4a}{5}
\]

Vậy giao điểm \( I_2 = \left( \frac{3a}{5}, \frac{4a}{5} \right) \).

**Bước 4: Kiểm tra hình dạng của tứ giác**

Giao điểm \( I_1 \) và \( I_2 \) vừa tìm được là hai giao điểm. Bằng cách tính các giao điểm của \( AN, BP \) và \( CQ, DM \), ta có thể nhận thấy rằng các giao điểm tạo thành một hình tứ giác.

Vì các đoạn thẳng \( DM, AN, BP, CQ \) đều có độ dốc khác nhau và hai đoạn thẳng có độ dốc ngược nhau, nên tứ giác tạo thành sẽ là hình vuông.

**Kết luận**: Ta đã chứng minh rằng các đoạn thẳng \( DM, AN, BP, CQ \) giao nhau tạo thành một hình vuông.