Để tìm giá trị nguyên của biểu thức \( A = \frac{4}{2x - 3} \), chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số \( 2x - 3 \) khác 0 và \( 4 \) chia hết cho \( 2x - 3 \).

### Bước 1: Xác định điều kiện

1. **Điều kiện mẫu số khác 0:**
\[
2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}
\]

2. **Tìm điều kiện cho \( A \) là số nguyên:**
Để \( A \) là số nguyên, \( 2x - 3 \) phải là một số nguyên dương hoặc âm mà \( 4 \) chia hết.

### Bước 2: Xét \( 2x - 3 \)

Gọi \( k = 2x - 3 \), khi đó \( A = \frac{4}{k} \).

### Bước 3: Tìm các giá trị của \( k \)

Ta cần \( k \) là một ước của \( 4 \). Các ước của \( 4 \) là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

### Bước 4: Tính giá trị của \( x \)

1. **Khi \( k = 1 \):**
\[
2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2
\]

2. **Khi \( k = 2 \):**
\[
2x - 3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}
\]

3. **Khi \( k = 4 \):**
\[
2x - 3 = 4 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]

4. **Khi \( k = -1 \):**
\[
2x - 3 = -1 \implies 2x = 2 \implies x = 1
\]

5. **Khi \( k = -2 \):**
\[
2x - 3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]

6. **Khi \( k = -4 \):**
\[
2x - 3 = -4 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}
\]

### Bước 5: Giá trị nguyên của \( x \)

Từ các kết quả trên, giá trị nguyên duy nhất cho \( x \) là:
- \( x = 2 \)
- \( x = 1 \)

### Kết luận

Các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) là số nguyên là \( x = 1 \) và \( x = 2 \).

Để giá trị \( A = \frac{4}{2x - 3} \) là một số nguyên, chúng ta cần điều kiện \( 2x - 3 \) phải là một ước của 4, tức là \( 2x - 3 \) phải bằng một trong các ước của 4.

Các ước của 4 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

### Xét từng trường hợp:

1. **Trường hợp 1: \( 2x - 3 = 1 \)**
\[
2x = 1 + 3 = 4 \implies x = 2
\]
Vậy \( A = \frac{4}{1} = 4 \).

2. **Trường hợp 2: \( 2x - 3 = -1 \)**
\[
2x = -1 + 3 = 2 \implies x = 1
\]
Vậy \( A = \frac{4}{-1} = -4 \).

3. **Trường hợp 3: \( 2x - 3 = 2 \)**
\[
2x = 2 + 3 = 5 \implies x = \frac{5}{2}
\]
Vậy \( A = \frac{4}{2} = 2 \).

4. **Trường hợp 4: \( 2x - 3 = -2 \)**
\[
2x = -2 + 3 = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]
Vậy \( A = \frac{4}{-2} = -2 \).

5. **Trường hợp 5: \( 2x - 3 = 4 \)**
\[
2x = 4 + 3 = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]
Vậy \( A = \frac{4}{4} = 1 \).

6. **Trường hợp 6: \( 2x - 3 = -4 \)**
\[
2x = -4 + 3 = -1 \implies x = -\frac{1}{2}
\]
Vậy \( A = \frac{4}{-4} = -1 \).

### Kết luận:
Các giá trị của \( x \) để \( A \) là số nguyên là:
- \( x = 2 \) (cho \( A = 4 \))
- \( x = 1 \) (cho \( A = -4 \))
- \( x = \frac{5}{2} \) (cho \( A = 2 \))
- \( x = \frac{1}{2} \) (cho \( A = -2 \))
- \( x = \frac{7}{2} \) (cho \( A = 1 \))
- \( x = -\frac{1}{2} \) (cho \( A = -1 \))

Như vậy, \( A \) đạt giá trị nguyên cho các giá trị trên của \( x \).