Để tìm giá trị nguyên của biểu thức $A = \frac{4}{2x - 3}$, chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số $2x - 3$ khác 0 và $4$ chia hết cho $2x - 3$.

### Bước 1: Xác định điều kiện

1. **Điều kiện mẫu số khác 0:**
$2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$

2. **Tìm điều kiện cho $A$ là số nguyên:**
Để $A$ là số nguyên, $2x - 3$ phải là một số nguyên dương hoặc âm mà $4$ chia hết.

### Bước 2: Xét $2x - 3$

Gọi $k = 2x - 3$, khi đó $A = \frac{4}{k}$.

### Bước 3: Tìm các giá trị của $k$

Ta cần $k$ là một ước của $4$. Các ước của $4$ là: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

### Bước 4: Tính giá trị của $x$

1. **Khi $k = 1$:**
$2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$

2. **Khi $k = 2$:**
$2x - 3 = 2 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$

3. **Khi $k = 4$:**
$2x - 3 = 4 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}$

4. **Khi $k = -1$:**
$2x - 3 = -1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$

5. **Khi $k = -2$:**
$2x - 3 = -2 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$

6. **Khi $k = -4$:**
$2x - 3 = -4 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$

### Bước 5: Giá trị nguyên của $x$

Từ các kết quả trên, giá trị nguyên duy nhất cho $x$ là:
- $x = 2$
- $x = 1$

### Kết luận

Các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên là $x = 1$ và $x = 2$.

Để giá trị $A = \frac{4}{2x - 3}$ là một số nguyên, chúng ta cần điều kiện $2x - 3$ phải là một ước của 4, tức là $2x - 3$ phải bằng một trong các ước của 4.

Các ước của 4 là: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

### Xét từng trường hợp:

1. **Trường hợp 1: $2x - 3 = 1$**
$2x = 1 + 3 = 4 \implies x = 2$
Vậy $A = \frac{4}{1} = 4$.

2. **Trường hợp 2: $2x - 3 = -1$**
$2x = -1 + 3 = 2 \implies x = 1$
Vậy $A = \frac{4}{-1} = -4$.

3. **Trường hợp 3: $2x - 3 = 2$**
$2x = 2 + 3 = 5 \implies x = \frac{5}{2}$
Vậy $A = \frac{4}{2} = 2$.

4. **Trường hợp 4: $2x - 3 = -2$**
$2x = -2 + 3 = 1 \implies x = \frac{1}{2}$
Vậy $A = \frac{4}{-2} = -2$.

5. **Trường hợp 5: $2x - 3 = 4$**
$2x = 4 + 3 = 7 \implies x = \frac{7}{2}$
Vậy $A = \frac{4}{4} = 1$.

6. **Trường hợp 6: $2x - 3 = -4$**
$2x = -4 + 3 = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$
Vậy $A = \frac{4}{-4} = -1$.

### Kết luận:
Các giá trị của $x$ để $A$ là số nguyên là:
- $x = 2$ (cho $A = 4$)
- $x = 1$ (cho $A = -4$)
- $x = \frac{5}{2}$ (cho $A = 2$)
- $x = \frac{1}{2}$ (cho $A = -2$)
- $x = \frac{7}{2}$ (cho $A = 1$)
- $x = -\frac{1}{2}$ (cho $A = -1$)

Như vậy, $A$ đạt giá trị nguyên cho các giá trị trên của $x$.