Để xác định \(\cos(A'D, IG)\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Cho hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) với cạnh \( a \):
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C(a, a, 0) \)
- \( D(0, a, 0) \)
- \( A'(0, 0, a) \)
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

2. **Tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( B'C'D' \)**:
- Tọa độ của các điểm:
- \( B'(a, 0, a) \)
- \( C'(a, a, a) \)
- \( D'(0, a, a) \)

- Trọng tâm \( G \) được tính bằng cách lấy trung bình tọa độ:
\[
G\left( \frac{a + a + 0}{3}, \frac{0 + a + a}{3}, \frac{a + a + a}{3} \right) = G\left( \frac{2a}{3}, \frac{2a}{3}, a \right)
\]

3. **Tọa độ điểm \( I \) (trung điểm của \( AB' \))**:
- Tọa độ của \( I \) được tính như sau:
\[
I\left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2} \right) = I\left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right)
\]

4. **Tính vector \( A'D \) và vector \( IG \)**:
- Tọa độ của \( A' \) là \( (0, 0, a) \) và \( D(0, a, 0) \), do đó vector \( A'D \) là:
\[
\vec{A'D} = D - A' = (0, a, 0) - (0, 0, a) = (0, a, -a)
\]

- Vector \( IG \) là:
\[
\vec{IG} = G - I = \left( \frac{2a}{3}, \frac{2a}{3}, a \right) - \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right)
\]

Tính \( IG \):
\[
\vec{IG} = \left( \frac{2a}{3} - \frac{a}{2}, \frac{2a}{3} - 0, a - \frac{a}{2} \right)
\]
- Tính từng phần:
\[
= \left( \frac{4a - 3a}{6}, \frac{2a}{3}, \frac{a}{2} \right) = \left( \frac{a}{6}, \frac{2a}{3}, \frac{a}{2} \right)
\]

5. **Tính \(\cos(A'D, IG)\)**:
- Để tìm \(\cos(A'D, IG)\), ta dùng công thức:
\[
\cos(A'D, IG) = \frac{\vec{A'D} \cdot \vec{IG}}{|\vec{A'D}| |\vec{IG}|}
\]

- **Tính tích vô hướng \( \vec{A'D} \cdot \vec{IG} \)**:
\[
\vec{A'D} \cdot \vec{IG} = (0, a, -a) \cdot \left( \frac{a}{6}, \frac{2a}{3}, \frac{a}{2} \right) = 0 \cdot \frac{a}{6} + a \cdot \frac{2a}{3} + (-a) \cdot \frac{a}{2}
\]
\[
= \frac{2a^2}{3} - \frac{a^2}{2} = \frac{4a^2}{6} - \frac{3a^2}{6} = \frac{a^2}{6}
\]

- **Tính độ dài \( |\vec{A'D}| \)**:
\[
|\vec{A'D}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
\]

- **Tính độ dài \( |\vec{IG}| \)**:
\[
|\vec{IG}| = \sqrt{\left(\frac{a}{6}\right)^2 + \left(\frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{a^2}{36} + \frac{4a^2}{9} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{36} + \frac{16a^2}{36} + \frac{9a^2}{36}} = \sqrt{\frac{26a^2}{36}} = \sqrt{\frac{13a^2}{18}} = \frac{a\sqrt{13}}{3\sqrt{2}}
\]

6. **Tính \(\cos(A'D, IG)\)**:
\[
\cos(A'D, IG) = \frac{\frac{a^2}{6}}{(a\sqrt{2}) \left(\frac{a\sqrt{13}}{3\sqrt{2}}\right)} = \frac{\frac{a^2}{6}}{\frac{a^2\sqrt{13}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{13}}
\]

### Kết luận
\[
\cos(A'D, IG) = \frac{1}{2\sqrt{13}}
\]

Để xác định cos(A′D,IG), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ với cạnh a:
- A(0,0,0)
- B(a,0,0)
- C(a,a,0)
- D(0,a,0)
- A′(0,0,a)
- B′(a,0,a)
- C′(a,a,a)
- D′(0,a,a)

2. *Tính tọa độ trọng tâm G của tam giác B′C′D′*:
- Tọa độ của các điểm:
- B′(a,0,a)
- C′(a,a,a)
- D′(0,a,a)

- Trọng tâm G được tính bằng cách lấy trung bình tọa độ:
G(a+a+03,0+a+a3,a+a+a3)=G(2a3,2a3,a)

3. *Tọa độ điểm I (trung điểm của AB′)*:
- Tọa độ của I được tính như sau:
I(0+a2,0+02,0+a2)=I(a2,0,a2)

4. *Tính vector A′D và vector IG*:
- Tọa độ của A′ là (0,0,a) và D(0,a,0), do đó vector A′D là:
→A′D=D−A′=(0,a,0)−(0,0,a)=(0,a,−a)

- Vector IG là:
→IG=G−I=(2a3,2a3,a)−(a2,0,a2)

Tính IG:
→IG=(2a3−a2,2a3−0,a−a2)
- Tính từng phần:
=(4a−3a6,2a3,a2)=(a6,2a3,a2)

5. *Tính cos(A′D,IG)*:
- Để tìm cos(A′D,IG), ta dùng công thức:
cos(A′D,IG)=→A′D⋅→IG|→A′D||→IG|

- *Tính tích vô hướng →A′D⋅→IG*:
→A′D⋅→IG=(0,a,−a)⋅(a6,2a3,a2)=0⋅a6+a⋅2a3+(−a)⋅a2
=2a23−a22=4a26−3a26=a26

- *Tính độ dài |→A′D|*:
|→A′D|=√02+a2+(−a)2=√a2+a2=√2a2=a√2

- *Tính độ dài |→IG|*:
|→IG|=√(a6)2+(2a3)2+(a2)2
=√a236+4a29+a24=√a236+16a236+9a236=√26a236=√13a218=a√133√2

6. *Tính cos(A′D,IG)*:
cos(A′D,IG)=a26(a√2)(a√133√2)=a26a2√133=12√13

Suy ra kết luận :
cos(A′D,IG)=12√13