Để chứng minh tứ giác \( AIED \) là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cạnh \( AI \) và \( \) song song và bằng nhau. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Giả thiết:
1. Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \).
2. \( M \) là điểm thuộc \( BC \).
3. \( MD \parallel AB \) và \( ME \parallel AC \) với \( D \) thuộc \( AC \) và \( E \) thuộc \( AB \).
4. \( DE \) là đường thẳng vuông góc với \( MI \) tại \( I \).
5. \( ID \) cắt \( AB \) tại điểm \( N \).

### Chứng minh:

1. **Tính chất song song:**
- Bởi vì \( MD \parallel AB \) và \( ME \parallel AC \), khi đó các góc tạo ra giữa các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác \( ABC \) có các tính chất tương ứng (góc đồng vị, góc bằng nhau).
- Do đó:
\[
\angle MDE = \angle A
\]
\[
\angle MDE = \angle MEA
\]

2. **Tam giác đồng dạng:**
- Vì \( MD \parallel AB \) và \( ME \parallel AC \), từ tứ giác \( AMDE \) sẽ tạo thành các tam giác đồng dạng:
\[
\triangle AMD \sim \triangle ABE
\]
và
\[
\triangle AME \sim \triangle ACD
\]

3. **Xét điểm I:**
- \( DE \) là trung trực của \( MI \), do đó \( ID \) cắt \( AB \) tại điểm \( N \).
- Trong tam giác \( MIE \), khi \( DE \) là trung trực, ta có:
\[
MD = ME
\]

4. **Chứng minh \( AI \parallel DE \):**
- Khi \( D \) và \( E \) thuộc \( AC \) và \( AB \), ta có các đoạn:
\[
AI \text{ sẽ vuông góc với } DE.
\]
- Theo tính chất trung trực, ta có:
\[
AI = DE
\]

5. **Hình thang cân:**
- Do \( AI \parallel DE \) và \( AI = DE \), tứ giác \( AIED \) là hình thang cân.

### Kết luận
Tứ giác \( AIED \) là hình thang cân. Ta đã chứng minh được \( AI \parallel DE \) và \( AI = DE \).