Để giải các bài toán tối ưu hóa, ta sẽ làm theo các bước sau:

### **1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( E(x) = 2x^2 + 8xy + 11y^2 - 4x - 2y + 6 \)**

#### **a. Viết lại hàm số dưới dạng chuẩn**

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, ta cần đưa nó về dạng chuẩn. Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) và thực hiện phương pháp hoàn thành bình phương.

Hàm số là:

\[ E(x, y) = 2x^2 + 8xy + 11y^2 - 4x - 2y + 6 \]

**Hoàn thành bình phương:**

1. **Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):**

\[ E(x, y) = 2x^2 + 8xy + 11y^2 - 4x - 2y + 6 \]

2. **Nhóm các hạng tử chứa \( x \):**

\[ E(x, y) = 2(x^2 + 4xy) + 11y^2 - 4x - 2y + 6 \]

3. **Hoàn thành bình phương với \( x \):**

\[ x^2 + 4xy = (x + 2y)^2 - 4y^2 \]

\[ 2(x^2 + 4xy) = 2((x + 2y)^2 - 4y^2) = 2(x + 2y)^2 - 8y^2 \]

Thay vào hàm số:

\[ E(x, y) = 2(x + 2y)^2 - 8y^2 + 11y^2 - 4x - 2y + 6 \]
\[ E(x, y) = 2(x + 2y)^2 + 3y^2 - 4x - 2y + 6 \]

4. **Tìm giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng đạo hàm:**

Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình:

\[ \frac{\partial E}{\partial x} = 4x + 8y - 4 = 0 \]
\[ \frac{\partial E}{\partial y} = 16x + 22y - 2 = 0 \]

Giải hệ phương trình này sẽ cho \( x \) và \( y \). Sau khi tìm được giá trị \( x \) và \( y \), thay vào hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất.

### **2. Tìm giá trị lớn nhất của \( A = x + y + z - (x^2 + 2y^2 + 4z^2) \)**

#### **a. Tính đạo hàm và tìm cực trị**

Hàm số cần tối ưu hóa là:

\[ A = x + y + z - (x^2 + 2y^2 + 4z^2) \]

1. **Tính đạo hàm riêng theo \( x \), \( y \), và \( z \):**

\[ \frac{\partial A}{\partial x} = 1 - 2x \]
\[ \frac{\partial A}{\partial y} = 1 - 4y \]
\[ \frac{\partial A}{\partial z} = 1 - 8z \]

2. **Tìm điểm cực trị bằng cách giải hệ phương trình:**

\[ 1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \]
\[ 1 - 4y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{4} \]
\[ 1 - 8z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{8} \]

3. **Thay vào hàm số \( A \):**

\[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{8}\right)^2\right) \]
\[ A = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} - \left(\frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{1}{64}\right) \]
\[ A = \frac{7}{8} - \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{16} + \frac{4}{64}\right) \]
\[ A = \frac{7}{8} - \left(\frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64}\right) \]
\[ A = \frac{7}{8} - \frac{28}{64} \]
\[ A = \frac{7}{8} - \frac{7}{16} = \frac{14 - 7}{16} = \frac{7}{16} \]

### **3. Các giá trị của \( a, b, c, d \) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 \)**

Nếu \( a, b, c, d \) là các số thực sao cho tổng bình phương của chúng bằng 1, chúng thuộc vào mặt cầu đơn vị trong không gian 4 chiều. Không có một giá trị cụ thể mà ta có thể xác định duy nhất mà không có thêm thông tin. Các giá trị của \( a, b, c, d \) có thể là bất kỳ tổ hợp nào sao cho điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 \) được thỏa mãn. Ví dụ:

- Nếu \( a = 1 \) và \( b = c = d = 0 \), thì \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 \).
- Nếu \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{1}{2} \), và \( c = d = 0 \), thì \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \).

Tóm lại:
1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( E(x) \), cần hoàn thành bình phương và sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm điểm cực trị.
2. Tìm giá trị lớn nhất của \( A \) bằng cách tính đạo hàm và giải hệ phương trình.
3. Các giá trị của \( a, b, c, d \) phụ thuộc vào các số thực sao cho tổng bình phương của chúng bằng 1.