Để giải bài toán về hình bình hành \( ABCD \) và các đường phân giác ngoài như đã nêu, chúng ta sẽ tiến hành các phần (a), (b), (c), và (d) theo từng bước như sau:

### (a) Chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

Để chứng minh \( MNPQ \) là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường phân giác ngoài của góc trong một hình bình hành.

- Đầu tiên, vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta có:
- \( \angle A + \angle C = 180^\circ \) và \( \angle B + \angle D = 180^\circ \).

- Các đường phân giác ngoài \( l_a, l_b, l_c, l_d \) chia các góc \( A, B, C, D \) thành hai phần sao cho:
- Đường phân giác ngoài tại \( A \) và \( C \) sẽ tạo thành một góc của hình thang:
- \( \angle MAB = \angle DAC \) và \( \angle NCB = \angle ABC \).

- Tương tự, với các góc \( B \) và \( D \), các đường phân giác ngoại sẽ phân chia các góc thành các phần tương ứng, mà tại giao điểm của \( l_a \) và \( l_b \) tại \( M \) sẽ tạo thành các góc vuông với nhau.

- Bởi vì \( M, N, P, Q \) là giao điểm của các đường phân giác, nên:
- \( \angle MNP = \angle MAB = \angle DAC \) và \( \angle PQR = \angle ACD \).

- Do đó, \( MNPQ \) là hình chữ nhật, vì góc giữa các đường phân giác tại các điểm giao đều là góc vuông.

### (b) Chứng minh rằng \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \).

- \( X \) là trung điểm của \( AB \) và \( Y \) là trung điểm của \( CD \).
- Do \( ABCD \) là hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Bởi vậy, từ tính chất của các đường trung bình trong hình học, ta biết rằng đường nối giữa hai trung điểm của hai cạnh song song cũng sẽ song song với hai cạnh đó:
- \( XY \parallel AD \).

- Lại nữa, vì \( M \) và \( P \) lần lượt là giao điểm của các đường phân giác ngoại, và các đường này đều giao tại các điểm tương ứng với các góc cho ra thông tin rằng:
- \( MX \) và \( PY \) sẽ song song với cạnh \( AD \), nghĩa là \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \).

### (c) Chứng minh rằng \( M, P, X, Y \) thẳng hàng.

- Từ phần (b), ta đã chỉ ra rằng \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \), điều này dẫn đến mối quan hệ song song giữa các đoạn \( MX \) và \( PY \) kết hợp với sự tồn tại của trung điểm \( X \) và \( Y \).

- Với \( X \) là trung điểm của \( AB \) và \( Y \) là trung điểm của \( CD \):
- Do tính chất hình bình hành nên \( X \) và \( Y \) cũng nằm trên một đường thẳng.

- Bởi sự thẳng hàng của các điểm, do đó \( M, P, X, Y \) cũng nằm trên một đường thẳng, dẫn đến \( M, P, X, Y \) thẳng hàng.

### (d) Chứng minh rằng \( MP = NQ = AB + BC \).

1. **Tính toán độ dài \( MP \) và \( NQ \)**:
- Trong một hình bình hành, ta có các đoạn đường bằng nhau từ các đường phân giác.
- Từ tính chất của đường phân giác, đường cắt bốn điểm trên các cạnh cân bằng, do đó:
- \( MP \) và \( NQ \) sẽ bằng nhau.

2. **Đo chiều dài**:
- Các đoạn \( MP \) và \( NQ \) tạo ra độ dài tương tự như cạnh của hình bình hành:
- Điều này có nghĩa rằng với mỗi đường tới điểm giao của các đường phân giác, chiều dài này là đều, cho ta kết luận rằng:
- \( MP = NQ = AB + BC \) do hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.

### Kết luận:
- Hình chữ nhật \( MNPQ \) đã được chứng minh, các đường trung bình song song và mối liên hệ giữa các điểm đã hoàn thiện cho thấy rằng \( M, P, X, Y \) thẳng hàng và các đoạn bằng nhau thực sự tương đồng như yêu cầu đề bài.

Nếu bạn cần thông tin chi tiết hơn hoặc có phần nào cần thêm giải thích, xin hãy cho tôi biết!