Từ đó, ta có hai nghiệm:

x=0vàx=2x=0vàx=2

3. **Phân tích dấu của đạo hàm**: Chúng ta kiểm tra dấu của y′y′ trên các khoảng:

- Khi x<0x<0: y′>0y′>0 (hàm đồng biến)
- Khi 0<x<20<x<2: y′<0y′<0 (hàm nghịch biến)
- Khi x>2x>2: y′>0y′>0 (hàm đồng biến)

Vậy x=0x=0 là điểm cực đại và x=2x=2 là điểm cực tiểu.

4. **Tính giá trị tại các điểm cực trị**:

- Tại x=0x=0:

y(0)=03−3(02)+2=2y(0)=03−3(02)+2=2

- Tại x=2x=2:

y(2)=23−3(22)+2=8−12+2=−2y(2)=23−3(22)+2=8−12+2=−2

5. **Xét giới hạn**: Để hiểu hành vi của hàm số khi x→±∞x→±∞:

- Khi x→+∞x→+∞: y→+∞y→+∞
- Khi x→−∞x→−∞: y→−∞y→−∞

6. **Vẽ đồ thị**: Với thông tin trên, ta có thể vẽ đồ thị của hàm số với các điểm cực trị đã tính và hành vi ở vô cực.

Hàm số y=x3−3x2+2y=x3−3x2+2 có dạng điển hình của một hàm bậc ba với một cực đại tại (0,2)(0,2) và một cực tiểu tại (2,−2)(2,−2).

Để tìm số sách Mai quyên góp, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính trung bình cộng số sách của cả ba bạn: 12+16+x312+16+𝑥3, với x𝑥 là số sách Mai quyên góp.
2. Theo đề bài, số sách Mai quyên góp bằng trung bình cộng, tức là x=12+16+x3𝑥=12+16+𝑥3.

Giải phương trình:

x=28+x3𝑥=28+𝑥3

Nhân cả hai vế với 3:

3x=28+x3𝑥=28+𝑥

Giải phương trình:

3x−x=282x=28x=143𝑥−𝑥=282𝑥=28𝑥=14

Vậy, Mai quyên góp được 14 quyển sách.