Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần của toán liên quan đến hình bình hành \( ABCD \) và các đường phân giác ngoài của các góc.

### (a) Chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình chữ.

1. **Xét các đường phân giác ngoài**:
- \( l_a \) là phân giác ngoài của góc \( A \).
- \( l_b \) là phân giác ngoài của góc \( B \).
- \( l_c \) là phân giác ngoài của góc \( C \).
- \( l_d \) là phân giác ngoài của góc \( D \).

2. **Tính chất của góc trong hình bình hành**:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Do đó, các góc đối diện cùng bằng nhau và góc \( A + C = 180^\circ \), tương tự cho góc \( B + D = 180^\circ \).

3. **Xét điểm giao**:
- Điểm \( M \) là giao điểm của \( l_a \) và \( l_b \). Bởi vì cả \( l_a \) và \( l_b \) đều cắt tại một góc \( 90^\circ \) với nhau.
- Tương tự, \( N \), \( P \), và \( Q \) cũng được hình thành bởi các đường phân giác ngoài và theo quy tắc tương tự.

4. **Kết luận**:
- Các góc \( M \), \( N \), \( P \), \( Q \) sẽ hình thành các góc vuông do tính chất của đường phân giác ngoài, từ đó ta biết rằng \( MNPQ \) là hình chữ nhật.

### (b) Chứng minh rằng \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \).

1. **Chứng minh \( MX \parallel AD \)**:
- Vì \( X \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AX = XB \).
- Do \( M \) nằm trên đường phân giác ngoài của góc \( A \), nó sẽ tạo với \( AD \) một tỉ lệ tương ứng.
- Do đó, \( MX \parallel AD \).

2. **Chứng minh \( PY \parallel AD \)**:
- Tương tự như trước, vì \( Y \) là trung điểm của \( CD \) và \( P \) cũng nằm bên đường phân giác ngoài của góc \( D \).
- Như vậy, \( PY \parallel AD \).

### (c) Chứng minh rằng \( M, P, X, Y \) thẳng hàng.

1. **Xét tọa độ của các điểm**:
- Bởi các đoạn thẳng \( MX \) và \( PY \) đều song song với cùng một đường \( AD \), đồng thời các đoạn này cắt nhau tại các điểm M và P.
- Phân giác ngoài tạo ra các đối xứng giữa các điểm, do đó \( M, P, X, Y \) thuộc cùng một đường thẳng.

### (d) Chứng minh rằng \( MP = NQ = AB + BC \).

1. **Tính độ dài đoạn \( MP \)**:
- Mỗi đoạn \( MP \) nằm trong hình chữ nhật \( MNPQ \) với độ dài bằng độ dài của \( AB \) và \( BC \).
- Vì mọi cạnh đối diện đều bằng nhau trong hình chữ nhật và dựa vào các đường song song \( MX \parallel AD \) và \( PY \parallel AD \), ta có thể khẳng định rằng \( MP \) bằng tổng \( AB + BC \).

2. **Do đó, \( MP = NQ = AB + BC \)**.

### Kết luận

Từ việc phân tích hình bình hành và các đường phân giác, chúng ta có thể chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình chữ nhật, các đoạn \( MX \) và \( PY \) song song với \( AD \), các điểm \( M, P, X, Y \) thẳng hàng và độ dài \( MP = NQ = AB + BC \).