Để chứng minh rằng trong bất kỳ tập hợp nào gồm 21 số tự nhiên khác nhau, mỗi số nhỏ hơn 70, luôn có ít nhất 4 hiệu dương giữa các cặp số khác nhau bằng nhau, chúng ta có thể áp dụng nguyên lý Dirichlet (nguyên lý "lõi ngăn").

### **1. Đặt vấn đề và ký hiệu**

Gọi tập hợp 21 số tự nhiên khác nhau là \( \{a_1, a_2, \ldots, a_{21}\} \), với \( a_i < 70 \) cho mọi \(i\). Xét tất cả các hiệu dương \(a_i - a_j\) với \(i > j\).

### **2. Số lượng hiệu dương**

Số lượng hiệu dương có thể tính là:

\[
\text{Số hiệu dương} = \binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210
\]

### **3. Tính giá trị cực đại của hiệu**

Vì mỗi số \(a_i < 70\), hiệu lớn nhất giữa hai số là:

\[
69 - 0 = 69
\]

Do đó, giá trị của hiệu dương \(a_i - a_j\) (với \(i > j\)) có thể là các số từ 1 đến 69, tức là có 69 giá trị khác nhau có thể xảy ra.

### **4. Áp dụng nguyên lý Dirichlet**

Chúng ta cần chứng minh rằng luôn có ít nhất 4 hiệu dương bằng nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, nếu số lượng các hiệu dương là 210 và số lượng giá trị khác nhau có thể của hiệu là 69, thì một số giá trị phải xuất hiện nhiều hơn một lần.

Chia số hiệu dương thành 69 "ngăn" (mỗi "ngăn" tương ứng với một giá trị của hiệu từ 1 đến 69). Theo nguyên lý Dirichlet, vì số lượng hiệu dương (210) lớn hơn số lượng "ngăn" (69), một số "ngăn" phải chứa ít nhất:

\[
\left\lceil \frac{210}{69} \right\rceil = 4
\]

Vậy ít nhất một giá trị hiệu dương phải xuất hiện ít nhất 4 lần.

### **5. Kết luận**

Do đó, trong bất kỳ tập hợp 21 số tự nhiên khác nhau và nhỏ hơn 70, khi xét tất cả các hiệu dương giữa các cặp số, luôn có ít nhất 4 hiệu dương bằng nhau.

Để chứng minh rằng trong bất kỳ tập hợp nào gồm 21 số tự nhiên khác nhau, mỗi số nhỏ hơn 70, luôn có ít nhất 4 hiệu dương giữa các cặp số khác nhau bằng nhau, chúng ta có thể áp dụng nguyên lý Dirichlet (nguyên lý "lõi ngăn").

### **1. Đặt vấn đề và ký hiệu**

Gọi tập hợp 21 số tự nhiên khác nhau là \( \{a_1, a_2, \ldots, a_{21}\} \), với \( a_i < 70 \) cho mọi \(i\). Xét tất cả các hiệu dương \(a_i - a_j\) với \(i > j\).

### **2. Số lượng hiệu dương**

Số lượng hiệu dương có thể tính là:

\[
\text{Số hiệu dương} = \binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210
\]

### **3. Tính giá trị cực đại của hiệu**

Vì mỗi số \(a_i < 70\), hiệu lớn nhất giữa hai số là:

\[
69 - 0 = 69
\]

Do đó, giá trị của hiệu dương \(a_i - a_j\) (với \(i > j\)) có thể là các số từ 1 đến 69, tức là có 69 giá trị khác nhau có thể xảy ra.

### **4. Áp dụng nguyên lý Dirichlet**

Chúng ta cần chứng minh rằng luôn có ít nhất 4 hiệu dương bằng nhau. Theo nguyên lý Dirichlet, nếu số lượng các hiệu dương là 210 và số lượng giá trị khác nhau có thể của hiệu là 69, thì một số giá trị phải xuất hiện nhiều hơn một lần.

Chia số hiệu dương thành 69 "ngăn" (mỗi "ngăn" tương ứng với một giá trị của hiệu từ 1 đến 69). Theo nguyên lý Dirichlet, vì số lượng hiệu dương (210) lớn hơn số lượng "ngăn" (69), một số "ngăn" phải chứa ít nhất:

\[
\left\lceil \frac{210}{69} \right\rceil = 4
\]

Vậy ít nhất một giá trị hiệu dương phải xuất hiện ít nhất 4 lần.

### **5. Kết luận**

Do đó, trong bất kỳ tập hợp 21 số tự nhiên khác nhau và nhỏ hơn 70, khi xét tất cả các hiệu dương giữa các cặp số, luôn có ít nhất 4 hiệu dương bằng nhau.

Gọi 21 số tự nhiên khác nhau là \( a_1, a_2, \ldots, a_{21} \), và giả sử rằng tất cả các số này đều nhỏ hơn 70. Chúng ta xét các hiệu dương giữa 2 số bất kỳ trong số 21 số này.

Hiệu dương giữa hai số \( a_i \) và \( a_j \) (với \( i < j \)) được định nghĩa là:

\[
d_{ij} = a_j - a_i
\]

Do \( a_1, a_2, \ldots, a_{21} \) là 21 số khác nhau, ta có \( d_{ij} \) dương khi \( a_j > a_i \). Số hiệu dương này sẽ được tính cho mọi cặp \( (i, j) \) với \( i < j \).

Số lượng các cặp (\(i, j\)) trong 21 số sẽ là:

\[
\binom{21}{2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210
\]

Như vậy, có tổng cộng 210 hiệu dương khác nhau có thể sinh ra từ 21 số này.

Ta sẽ xác định các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể của \( d_{ij} \).

- Giá trị nhỏ nhất của \( d_{ij} \) là 1 (trong trường hợp \( a_i \) và \( a_{i+1} \) là hai số liên tiếp).
- Giá trị lớn nhất của \( d_{ij} \) là \( 70 - 1 = 69 \) (khi \( a_1 = 1 \) và \( a_{21} = 69\)).

Vậy các hiệu \( d_{ij} \) có thể nhận các giá trị trong khoảng từ 1 đến 69. Tổng số các giá trị khả dĩ của \( d_{ij} \) trong khoảng này là 69.

Bây giờ, theo nguyên lý Pigeonhole (nguyên lý ngăn), nếu chúng ta có 210 hiệu khác nhau và chỉ có 69 giá trị khả dĩ, thì ít nhất sẽ có một số hiệu dương nào đó được lặp lại.

Cụ thể, nếu chia 210 hiệu dương cho 69 giá trị khác nhau, theo nguyên lý Pigeonhole, một số hiệu nhất định sẽ xuất hiện ít nhất:

\[
\left\lceil \frac{210}{69} \right\rceil = 4
\]

Điều này có nghĩa là có ít nhất 4 cặp số khác nhau \( (a_i, a_j) \) cho cùng một hiệu \( d_{ij} \).

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng trong 21 số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 70, khi xét tất cả các hiệu dương giữa 2 số bất kỳ, luôn có ít nhất 4 hiệu bằng nhau.

\[
\boxed{4}
\]