Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng nguyên lý "bảo đảm tối thiểu" và lý thuyết về bài toán bài toán chọn lọc. Dưới đây là các kết quả cho từng phần:

**a) Hai viên bi khác màu:**

Để đảm bảo lấy được hai viên bi khác màu, ta cần lấy ít nhất đủ số viên bi để trường hợp xấu nhất là lấy tất cả các viên bi cùng màu đầu tiên. Nếu lấy tất cả các viên bi của một màu, rồi lấy thêm một viên bi khác màu, ta sẽ có:

- Lấy 20 viên bi đỏ
- Lấy 20 viên bi xanh
- Lấy 20 viên bi vàng
- Lấy 5 viên bi trắng
- Lấy 5 viên bi đen

Lấy tất cả các viên bi trên, tổng cộng có \(20 + 20 + 20 + 5 + 5 = 70\) viên bi. Tuy nhiên, nếu ta lấy một viên bi thêm nữa thì sẽ đảm bảo có ít nhất hai viên bi khác màu.

Vậy, ta phải lấy ít nhất \(70 - 1 + 1 = 71\) viên bi. Nhưng vì tổng số bi chỉ có 70, nghĩa là lấy 71 viên là không khả thi. Vậy, ta chỉ cần lấy thêm một viên bi ngoài 69 viên bi tất cả các màu.

Do đó, để đảm bảo có hai viên bi khác màu, ta phải lấy ít nhất **2 viên bi**.

**b) Hai viên bi cùng màu:**

Để đảm bảo lấy được hai viên bi cùng màu, ta cần lấy tối đa số viên bi mà không có hai viên bi cùng màu. Nếu ta lấy một viên bi từ mỗi màu, ta sẽ có:

- 1 viên bi đỏ
- 1 viên bi xanh
- 1 viên bi vàng
- 1 viên bi trắng
- 1 viên bi đen

Tổng cộng là 5 viên bi, tất cả đều khác màu. Để đảm bảo có ít nhất hai viên bi cùng màu, ta cần lấy thêm một viên bi nữa.

Vậy, ta phải lấy ít nhất \(5 + 1 = 6\) viên bi để chắc chắn có hai viên bi cùng màu.

**c) Mười viên bi cùng màu:**

Để đảm bảo lấy được mười viên bi cùng màu, ta cần xét trường hợp xấu nhất, tức là lấy nhiều viên bi từ các màu khác nhau mà không đạt được mười viên bi cùng màu.

- Lấy tất cả 20 viên bi đỏ
- Lấy tất cả 20 viên bi xanh
- Lấy tất cả 20 viên bi vàng

Tổng cộng: \(20 + 20 + 20 = 60\) viên bi mà không có mười viên bi cùng màu.

Để đảm bảo có ít nhất mười viên bi cùng màu, ta cần thêm ít nhất 10 viên bi nữa từ một màu.

Vậy, ta phải lấy ít nhất \(60 + 10 = 70\) viên bi để chắc chắn có mười viên bi cùng màu.

**d) Có tất cả các màu bi:**

Để đảm bảo có tất cả các màu bi, ta cần lấy ít nhất số viên bi lớn nhất của một màu và một viên bi thêm từ mỗi màu còn lại.

Nếu ta lấy tất cả các viên bi của bốn màu, ta có:

- 20 viên bi đỏ
- 20 viên bi xanh
- 20 viên bi vàng
- 5 viên bi trắng
- 5 viên bi đen

Lấy tất cả bi của bốn màu có thể không bao gồm màu cuối cùng. Vì vậy, ta cần lấy thêm một viên bi từ màu còn lại.

Vậy, để đảm bảo có tất cả các màu bi, ta phải lấy ít nhất \(20 + 20 + 20 + 5 + 5 - 5 = 65\) viên bi.