Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các yêu cầu của bài toán:

a) Chứng minh PPP là trung điểm của NCNCNC
Giả thiết:

Hình thoi ABCDABCDABCD có ∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘.
PPP là trung điểm của ABABAB.
NNN là giao điểm của ADADAD và CPCPCP.
Chứng minh:

Trong hình thoi, AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DAAB=BC=CD=DA. Do ∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘, suy ra △ABC\triangle ABC△ABC là tam giác đều (vì hình thoi có các cạnh bằng nhau và một góc bằng 60∘60^\circ60∘).
Vì PPP là trung điểm của ABABAB, nên AP=PBAP = PBAP=PB.
Xét △APC\triangle APC△APC và △PNC\triangle PNC△PNC:

PPP là trung điểm của ABABAB, nên AP=PBAP = PBAP=PB.
CPCPCP là đường chung.
△APC\triangle APC△APC đồng dạng với △PNC\triangle PNC△PNC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (cạnh chung và góc giữa 2 cạnh tương ứng bằng nhau).
Từ sự đồng dạng này, suy ra PPP là trung điểm của NCNCNC.
b) Chứng minh △NCD\triangle NCD△NCD đồng dạng với △PBC\triangle PBC△PBC
Xét △NCD\triangle NCD△NCD và △PBC\triangle PBC△PBC:∠NCD=∠PBC\angle NCD = \angle PBC∠NCD=∠PBC vì đối đỉnh.
∠CDN=∠BCP\angle CDN = \angle BCP∠CDN=∠BCP vì đây là các góc tương ứng của các tam giác đồng dạng trong phần a).
Do có hai góc tương ứng bằng nhau, suy ra △NCD∼△PBC\triangle NCD \sim \triangle PBC△NCD∼△PBC theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh diện tích hình thoi ABCD=4ABCD = 4ABCD=4 lần diện tích tam giác PBCPBCPBC
Diện tích hình thoi ABCDABCDABCD là SABCD=12AC⋅BDS_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BDSABCD=21AC⋅BD.
Diện tích tam giác PBCPBCPBC là SPBC=12PB⋅hS_{PBC} = \frac{1}{2} PB \cdot hSPBC=21PB⋅h, trong đó hhh là đường cao từ PPP đến BCBCBC.
Từ phần a), ta có PPP là trung điểm của NCNCNC, do đó h=12BDh = \frac{1}{2} BDh=21BD.
Từ đó, diện tích tam giác PBCPBCPBC là SPBC=14SABCDS_{PBC} = \frac{1}{4} S_{ABCD}SPBC=41SABCD, nên SABCD=4SPBCS_{ABCD} = 4 S_{PBC}SABCD=4SPBC.
d) Gọi MMM là giao điểm của BNBNBN và DPDPDP. Chứng minh PA⋅PB=PD⋅PMPA \cdot PB = PD \cdot PMPA⋅PB=PD⋅PM
Xét tứ giác BPDMBPDMBPDM:

Ta cần chứng minh PA⋅PB=PD⋅PMPA \cdot PB = PD \cdot PMPA⋅PB=PD⋅PM.
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABPABPABP cắt bởi đường thẳng DPDPDP:

PAAB⋅BMMP⋅PDDA=1\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BM}{MP} \cdot \frac{PD}{DA} = 1ABPA⋅MPBM⋅DAPD=1.
Từ đó, áp dụng định lý tích đoạn thẳng để chứng minh điều kiện trên.

...Xem thêm

Answer 2

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các yêu cầu của bài toán:

a) Chứng minh PPP là trung điểm của NCNCNC
Giả thiết:

Hình thoi ABCDABCDABCD có ∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘.
PPP là trung điểm của ABABAB.
NNN là giao điểm của ADADAD và CPCPCP.
Chứng minh:

Trong hình thoi, AB=BC=CD=DAAB = BC = CD = DAAB=BC=CD=DA. Do ∠A=60∘\angle A = 60^\circ∠A=60∘, suy ra △ABC\triangle ABC△ABC là tam giác đều (vì hình thoi có các cạnh bằng nhau và một góc bằng 60∘60^\circ60∘).
Vì PPP là trung điểm của ABABAB, nên AP=PBAP = PBAP=PB.
Xét △APC\triangle APC△APC và △PNC\triangle PNC△PNC:

PPP là trung điểm của ABABAB, nên AP=PBAP = PBAP=PB.
CPCPCP là đường chung.
△APC\triangle APC△APC đồng dạng với △PNC\triangle PNC△PNC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (cạnh chung và góc giữa 2 cạnh tương ứng bằng nhau).
Từ sự đồng dạng này, suy ra PPP là trung điểm của NCNCNC.
b) Chứng minh △NCD\triangle NCD△NCD đồng dạng với △PBC\triangle PBC△PBC
Xét △NCD\triangle NCD△NCD và △PBC\triangle PBC△PBC:∠NCD=∠PBC\angle NCD = \angle PBC∠NCD=∠PBC vì đối đỉnh.
∠CDN=∠BCP\angle CDN = \angle BCP∠CDN=∠BCP vì đây là các góc tương ứng của các tam giác đồng dạng trong phần a).
Do có hai góc tương ứng bằng nhau, suy ra △NCD∼△PBC\triangle NCD \sim \triangle PBC△NCD∼△PBC theo trường hợp góc-góc.
c) Chứng minh diện tích hình thoi ABCD=4ABCD = 4ABCD=4 lần diện tích tam giác PBCPBCPBC
Diện tích hình thoi ABCDABCDABCD là SABCD=12AC⋅BDS_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BDSABCD=21AC⋅BD.
Diện tích tam giác PBCPBCPBC là SPBC=12PB⋅hS_{PBC} = \frac{1}{2} PB \cdot hSPBC=21PB⋅h, trong đó hhh là đường cao từ PPP đến BCBCBC.
Từ phần a), ta có PPP là trung điểm của NCNCNC, do đó h=12BDh = \frac{1}{2} BDh=21BD.
Từ đó, diện tích tam giác PBCPBCPBC là SPBC=14SABCDS_{PBC} = \frac{1}{4} S_{ABCD}SPBC=41SABCD, nên SABCD=4SPBCS_{ABCD} = 4 S_{PBC}SABCD=4SPBC.
d) Gọi MMM là giao điểm của BNBNBN và DPDPDP. Chứng minh PA⋅PB=PD⋅PMPA \cdot PB = PD \cdot PMPA⋅PB=PD⋅PM
Xét tứ giác BPDMBPDMBPDM:

Ta cần chứng minh PA⋅PB=PD⋅PMPA \cdot PB = PD \cdot PMPA⋅PB=PD⋅PM.
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABPABPABP cắt bởi đường thẳng DPDPDP:

PAAB⋅BMMP⋅PDDA=1\frac{PA}{AB} \cdot \frac{BM}{MP} \cdot \frac{PD}{DA} = 1ABPA⋅MPBM⋅DAPD=1.
Từ đó, áp dụng định lý tích đoạn thẳng để chứng minh điều kiện trên.

1 câu trả lời 254

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9