Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ các bước tính toán sau:

1. **Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị:**

Hàm số \( y = \frac{2}{3}x^3 - mx^2 - 2(3m^2 - 1)x + \frac{2}{3} \).

Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm của hàm số và đặt đạo hàm bằng 0:

\[ y' = 2x^2 - 2mx - 2(3m^2 - 1) \]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[ 2x^2 - 2mx - 2(3m^2 - 1) = 0 \]
\[ x^2 - mx - (3m^2 - 1) = 0 \]

Đây là một phương trình bậc 2 với nghiệm là các điểm cực trị \(x_1\) và \(x_2\).

2. **Áp dụng điều kiện cho nghiệm của phương trình bậc 2:**

Từ phương trình \(x^2 - mx - (3m^2 - 1) = 0\), ta có:

- Tổng của nghiệm \(x_1 + x_2 = m\)
- Tích của nghiệm \(x_1 x_2 = -(3m^2 - 1)\)

Theo bài toán, có điều kiện:

\[ x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1 \]

Thay \(x_1 x_2 = -(3m^2 - 1)\) và \(x_1 + x_2 = m\) vào điều kiện trên:

\[ -(3m^2 - 1) + 2m = 1 \]
\[ -3m^2 + 1 + 2m = 1 \]
\[ -3m^2 + 2m = 0 \]
\[ 3m^2 - 2m = 0 \]
\[ m(3m - 2) = 0 \]

Do đó, \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{2}{3}\).

3. **Tính giá trị của \(a\) và \(b\) từ \(a/b = m\):**

- Khi \(m = 0\), \(a/b = 0\) dẫn đến \(a = 0\) và \(b \neq 0\).
- Khi \(m = \frac{2}{3}\), \(a/b = \frac{2}{3}\) dẫn đến \(a = 2\) và \(b = 3\).

4. **Tính giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\):**

- Với \(m = 0\), \(a = 0\) và \(b = 1\), do đó \(S = 0^2 + 1^2 = 1\).
- Với \(m = \frac{2}{3}\), \(a = 2\) và \(b = 3\), do đó \(S = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\).

Vậy giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\) có thể là **1** hoặc **13**.

Để giải bài toán, ta cần nghiên cứu hàm số sau:

\[
y =frac{2}{3}x^3 - mx^2 - 2(3m^2 - 1)x + \frac{2}{3}
\]

### Bước 1: Tìm hàm số đạo hàm
Để tìm các điểm cực trị, ta sẽ tính đạom bậc của hàm số:

\[
y' = 2x^2 - 2mx - 2(3m^2 - 1)
\]

Rút gọn lại:

\[
y' = 2x^2 - 2mx - 6m^2 + 2
\]

### Bước 2: Tìm điều kiện có 2 điểm cực trị
Hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt:

\[
2x^2 - 2mx - (6m^2 - 2) = 0
\]

Vị trí các nghiệm được tính theo định lý Viète:

- Tổng \(x_1 + x_2 = m\)
- Tích \(x_1 x_2 = -\frac{6m^2 - 2}{2} = -3m^2 + 1\)

### Bước 3: Thỏa mãn điều kiện \(x_1 x_2 + 2(x_1 + x_2) = 1\)
Áp dụng điều kiện đã cho:

\[
-3m^2 + 1 + 2m = 1
\]

Giải phương trình:

\[
-3m^2 + 2m + 1 - 1 = 0
\]

Rút gọn:

\[
-3m^2 + 2m = 0
\]

Phương trình này có thể được phân tích như sau:

\[
m(2 - 3m) = 0
\]

### Bước 4: Giải phương trình
Từ đây ta có 2 trường hợp:

1. \(m = 0\)
2. \(2 - 3m = 0 \Rightarrow m = \frac{2}{3}\)

### Bước 5: Tính giá trị của \(a\) và \(b\)
Theo đề bài, \(a/b = m\) và ta có \(m = 0\) hoặc \(m = \frac{2}{3}\).

1. Nếu \(m = 0\):
- Ta có thể chọn \(a = 0\) và \(b = 1\) (hoặc bất kỳ giá trị nào mà \(a/b = 0\)).
- Vậy \(S = a^2 + b^2 = 0^2 + 1^2 = 1\).

2. Nếu \(m = \frac{2}{3}\):
- Đặt \(a = 2\) và \(b = 3\).
- Vậy \(S = a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\).

### Kết luận:
- Khi \(m = 0\), \(S = 1\).
- Khi \(m = \frac{2}{3}\), \(S = 13\).

Vậy, bài toán yêu cầu tìm giá trị của biểu thức \(S = a^2 + b^2\), với hai giá trị có thể:

- \(S = 1\) hoặc \(S = 13\).