Để phân tích thành nhân tử các biểu thức đại số, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như nhóm hạng tử, công thức đặc biệt, hoặc phương pháp chia đa thức. Dưới đây là phân tích thành nhân tử cho hai biểu thức bạn đưa ra:

### a) \( x^2 + 4ax + x + 2a \)

1. **Nhóm hạng tử:**
Ta nhóm các hạng tử của biểu thức:
\[
x^2 + 4ax + x + 2a = (x^2 + 4ax) + (x + 2a)
\]

2. **Phân tích từng nhóm:**
- Nhóm \( x^2 + 4ax \):
\[
x^2 + 4ax = x(x + 4a)
\]
- Nhóm \( x + 2a \):
Ta có thể viết lại là:
\[
x + 2a
\]

Tuy nhiên, để dễ dàng hơn, ta tiếp tục nhóm các hạng tử và thử phân tích thành nhân tử theo cách khác:
- Nhóm các hạng tử khác nhau:
\[
x^2 + x + 4ax + 2a = (x^2 + x) + (4ax + 2a)
\]
\[
= x(x + 1) + 2a(2x + 1)
\]

3. **Tìm cách nhóm tốt hơn:**
Từ đây, chúng ta có thể thấy rằng không dễ để nhóm theo cách này. Thay vào đó, chúng ta thử một cách khác:

- Thử phân tích theo dạng nhân tử:
\[
x^2 + 4ax + x + 2a = x^2 + (4a + 1)x + 2a
\]

Ta kiểm tra các dạng nhân tử có thể:
- Tạo một biểu thức theo dạng \((x + m)(x + n)\) sao cho \(mn = 2a\) và \(m + n = 4a + 1\).

Với điều này có vẻ phức tạp hơn, ta có thể thử nghiệm các giá trị cụ thể hoặc biểu thức khác.

Tuy nhiên, dạng phân tích cuối cùng có thể là:

\[
x^2 + 4ax + x + 2a = (x + 2a)(x + 1)
\]

### b) \( x^4 + 2x^3 - 4x - 8 \)

1. **Nhóm hạng tử:**
Ta nhóm các hạng tử của biểu thức:
\[
x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = (x^4 + 2x^3) - (4x + 8)
\]

2. **Phân tích từng nhóm:**
- Nhóm \(x^4 + 2x^3\):
\[
x^4 + 2x^3 = x^3(x + 2)
\]
- Nhóm \(-4x - 8\):
\[
-4x - 8 = -4(x + 2)
\]

3. **Kết hợp các nhóm:**
Ta viết lại:
\[
x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = x^3(x + 2) - 4(x + 2)
\]

Nhận thấy rằng \( (x + 2) \) là yếu tố chung:
\[
= (x^3 - 4)(x + 2)
\]

4. **Kiểm tra và phân tích \(x^3 - 4\):**

\(x^3 - 4\) có thể phân tích tiếp:
\[
x^3 - 4 = x^3 - 2^2
\]
Sử dụng công thức phân tích cho hiệu số hai lập phương:
\[
x^3 - 4 = (x - \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 2)
\]

Vì thế, biểu thức cuối cùng là:
\[
x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = (x + 2)(x^3 - 4)
\]
\[
= (x + 2)(x - \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 2)
\]

Tóm lại:

- Biểu thức \(x^2 + 4ax + x + 2a\) có thể phân tích thành \((x + 2a)(x + 1)\).
- Biểu thức \(x^4 + 2x^3 - 4x - 8\) có thể phân tích thành \((x + 2)(x - \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 2)\).

Để phân tích thành nhân tử, ta sẽ giải quyết từng biểu thức.

### a) \( x^2 + 4ax + x + 2a \)

Bước 1: Nhóm các hạng tử lại với nhau.

\[
(x^2 + 4ax) + (x + 2a)
\]

Bước 2: Nhân tử chung trong từng nhóm.

\[
x(x + 4a) + 1(x + 2a)
\]

Bước 3: Nhóm lại theo bội số chung.

Thử phân tích với dạng được nhóm lại:

\[
x(x + 4a) + (x + 2a)
\]

Chưa thấy nhân tử chung, ta cần sắp xếp lại:

\[
x^2 + (4a + 1)x + 2a
\]

Bây giờ áp dụng hệ số:

Tìm hai số có tích là \(2a\) và tổng là \(4a + 1\).
Hai số này là:

- \(2a\) và \(2\).

\[
x^2 + 4ax + x + 2a = x^2 + (4a + 1)x + 2a = (x + 2)(x + 2a)
\]

Vậy:

\[
\boxed{(x + 2)(x + 2a)}
\]

---

### b) \( x^4 + 2x^3 - 4x - 8 \)

Bước 1: Nhóm các hạng tử lại với nhau.

\[
(x^4 + 2x^3) + (-4x - 8)
\]

Bước 2: Tính nhân tử chung trong từng nhóm.

\[
x^3(x + 2) - 4(x + 2)
\]

Bước 3: Nhóm lại theo bội số chung.

\[
(x^3 - 4)(x + 2)
\]

Bước 4: Phân tích \(x^3 - 4\) theo dạng hiệu 2 bình phương.

\[
x^3 - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
\]

Do đó, ta có:

\[
x^4 + 2x^3 - 4x - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)
\]

Vậy:

\[
\boxed{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)}
\]