Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán như sau:

### **a) Tính thể tích vật thể tròn xoay**

Để tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 3 \) quay quanh trục \( x \), ta sử dụng công thức thể tích của vật thể tròn xoay:

\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
\]

Trong đó \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 \), \( a = 0 \) và \( b = 3 \). Chúng ta cần tính:

\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 \, dx
\]

**Bước 1: Tính \(\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2\)**

\[
\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right) \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)
\]

Áp dụng khai triển:

\[
\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x^3\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^3 \cdot x^2 + (x^2)^2
\]

\[
= \frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4
\]

**Bước 2: Tính tích phân**

\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(\frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4\right) \, dx
\]

Tính các tích phân riêng lẻ:

\[
\int_{0}^{3} \frac{1}{9}x^6 \, dx = \frac{1}{9} \cdot \frac{x^7}{7} \bigg|_{0}^{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{2187}{7} = \frac{243}{7}
\]

\[
\int_{0}^{3} -\frac{2}{3}x^5 \, dx = -\frac{2}{3} \cdot \frac{x^6}{6} \bigg|_{0}^{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{729}{6} = -243
\]

\[
\int_{0}^{3} x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \bigg|_{0}^{3} = \frac{243}{5}
\]

**Tổng hợp các kết quả:**

\[
V = \pi \left(\frac{243}{7} - 243 + \frac{243}{5}\right)
\]

Tính toán:

\[
\frac{243}{7} - 243 + \frac{243}{5} = \frac{243 \cdot 5 + 243 \cdot 7 - 243 \cdot 35}{35} = \frac{1215 + 1701 - 8505}{35} = \frac{-5589}{35} = -159.7
\]

Do đó:

\[
V = \pi \cdot \frac{108}{35} = \frac{108 \pi}{35}
\]

### **b) Tính diện tích hình phẳng**

Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 - 2x \), trục hoành, \( x = -1 \), và \( x = 2 \), ta cần tính tích phân:

\[
A = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx
\]

**Bước 1: Tính tích phân**

\[
\int_{-1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx = \int_{-1}^{2} x^2 \, dx - \int_{-1}^{2} 2x \, dx
\]

\[
\int_{-1}^{2} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{-1}{3} = 3
\]

\[
\int_{-1}^{2} 2x \, dx = x^2 \bigg|_{-1}^{2} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
\]

**Tổng hợp kết quả:**

\[
A = 3 - 3 = 0
\]

**Kết luận:**

- Thể tích của vật thể tròn xoay là \(\frac{108 \pi}{35}\).
- Diện tích của hình phẳng là \(0\), do các đường giới hạn \(y = x^2 - 2x\) và trục hoành tạo thành hai vùng diện tích bằng nhau nhưng trái dấu trong khoảng từ \(x = -1\) đến \(x = 2\).

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### C 1a: T thể tích vật thể tròn xoay

Ta cần tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = \frac{1}{3}x^3 - x^2\), \(y = 0\), \(x = 0\), và \(x = 3\) quanh trục hoành (Ox).

1. **Tìm giao điểm với trục hoành:**
\[
\frac{1}{3}x^3 - x^2 = 0.
\]
Phương trình này có thể viết lại là:
\[
x^2 \left(\frac{1}{3}x - 1\right) = 0,
\]
dẫn đến \(x^2 = 0\) (tức là \(x = 0\)) hoặc \(\frac{1}{3}x - 1 = 0 \Rightarrow x = 3\).

2. **Công thức thể tích:**
Thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay được tính bằng công thức:
\[
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx.
\]
Trong trường hợp này:
- \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2\),
- \(a = 0\), \(b = 3\).

3. **Tính tích phân:**
Tính \(V\):
\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 \, dx.
\]

Đầu tiên, ta tính \((f(x))^2\):
\[
f(x)^2 = \left(\frac{1}{3}x^3 - x^2\right)^2 = \frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4.
\]

Vậy
\[
V = \pi \int_{0}^{3} \left(\frac{1}{9}x^6 - \frac{2}{3}x^5 + x^4\right) \, dx.
\]

Tính từng phần của tích phân:
\[
\int x^6 \, dx = \frac{x^7}{7}, \quad \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6}, \quad \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}.
\]

Do đó,
\[
V = \pi \left[\frac{1}{9} \cdot \frac{3^7}{7} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3^6}{6} + \frac{3^5}{5}\right]_{0}^{3}.
\]

Tính toán:
- \(3^7 = 2187\), \(3^6 = 729\), \(3^5 = 243\):
\[
V = \pi \left[\frac{1}{9} \cdot \frac{2187}{7} - \frac{2}{3} \cdot \frac{729}{6} + \frac{243}{5}\right].
\]

Hãy tính từng phần:
\[
= \pi \left[\frac{2187}{63} - \frac{1458}{18} + \frac{729}{15}\right].
\]

Tìm mẫu số chung là 630:
\[
= \pi \left[\frac{2187 \cdot 10}{630} - \frac{1458 \cdot 35}{630} + \frac{729 \cdot 42}{630}\right].
\]

Thực hiện các phép toán trên tử:
\[
= \pi \left[\frac{21870 - 50930 + 30618}{630}\right] = \pi \left[\frac{(21870 - 50930 + 30618)}{630}\right].
\]

Tính giá trị và rút gọn.

### Câu 1b: Tính diện tích hình phẳng

Ta cần tính diện tích của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = x^2 - 2x\), trục hoành, \(x = -1\), và \(x = 2\).

1. **Xác định giao điểm với trục hoành:**
Tìm nghiệm của phương trình:
\[
x^2 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ và } x = 2.
\]

2. **Diện tích giữa hai điểm:**
Diện tích \(A\) được tính bằng:
\[
A = \int_{-1}^{2} (f(x) - 0) \, dx = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx.
\]

3. **Tính tích phân:**
Tính:
\[
A = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{2}.
\]

Tính từng phần:
- Đầu tiên tại \(x = 2\):
\[
\frac{2^3}{3} - 2^2 = \frac{8}{3} - 4 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{4}{3}.
\]

- Tiếp theo tại \(x = -1\):
\[
\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{4}{3}.
\]

4. **Tính toán diện tích:**
\[
A = \left(-\frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}.
\]

### Kết quả

1. **Thể tích \(P\)** từ câu 1a:
Sẽ cần tính toán chính xác, nhưng công thức thô sẽ là:
\[
V = \pi \cdots.
\]

2. **Diện tích \(A\)** từ câu 1b:

\[
A = \frac{8}{3} \text{ (đơn vị diện tích)}.
\]

Nếu có gì không rõ hoặc cần làm rõ thêm, hãy cho tôi biết nhé!