**a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} \)**

Ta có điều kiện xác định của hàm số là \( x-1 \geq 0 \) và \( 5-x \geq 0 \), nghĩa là \( 1 \leq x \leq 5 \).

Hàm số xác định trên đoạn \( [1, 5] \). Ta xét đạo hàm của hàm số:

\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{2\sqrt{5-x}}
\]

Đặt \( y' = 0 \):

\[
\frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2\sqrt{5-x}}
\]

Bình phương hai vế:

\[
x - 1 = 5 - x
\]

Giải phương trình:

\[
2x = 6 \Rightarrow x = 3
\]

Giá trị hàm số tại các điểm \( x = 1 \), \( x = 3 \), và \( x = 5 \):

- \( y(1) = \sqrt{1-1} + \sqrt{5-1} = 0 + 2 = 2 \)
- \( y(3) = \sqrt{3-1} + \sqrt{5-3} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
- \( y(5) = \sqrt{5-1} + \sqrt{5-5} = 2 + 0 = 2 \)

Giá trị lớn nhất của hàm số là \( y = 2\sqrt{2} \) tại \( x = 3 \), và giá trị nhỏ nhất là \( y = 2 \) tại \( x = 1 \) và \( x = 5 \).

**b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) trên đoạn \([0, \infty)\)**

Ta xét đạo hàm của hàm số:

\[
y' = -3x^2 + 3
\]

Đặt \( y' = 0 \):

\[
-3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \) (vì xét trên đoạn \( [0, \infty) \)
\]

Giá trị hàm số tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 1 \):

- \( y(0) = -0^3 + 3 \times 0 + 1 = 1 \)
- \( y(1) = -1^3 + 3 \times 1 + 1 = 3 \)

Khi \( x \to \infty \), \( y = -x^3 + 3x + 1 \to -\infty \).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \( y = 3 \) tại \( x = 1 \), và hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \( [0, \infty) \) (vì \( y \to -\infty \) khi \( x \to \infty \)).

**c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 1} \)**

Xét đạo hàm của hàm số:

\[
y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x - 3)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 4x + 2 - x^2 - 2x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x + 5}{(x + 1)^2}
\]

Đặt \( y' = 0 \), ta có \( x^2 + 2x + 5 = 0 \).

Phương trình này không có nghiệm thực, nên đạo hàm không thể bằng 0.

Do đó, \( y' \) không đổi dấu và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu nội tại. Xét giới hạn khi \( x \) tiến về vô cùng và giá trị của hàm số tại một số điểm:

- Khi \( x \to \infty \), \( y \to \frac{x^2}{x} = x \to \infty \).
- Khi \( x \to -1 \), hàm số không xác định.

Như vậy, hàm số không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất cụ thể.

Hàm số đã cho là:
\[
y = -x^3 + 3x + 1
\]

Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là:
\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 1)
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm 
\[
y' = -3x^2 + 3
\]

Để xét tính đơn điệu của hàm số, ta cần xét dấu của \( y' \):
\[
y' = -3x^2 + 3 = 3(1 - x^2)
\]

Xét dấu của \( y' \) trên \([0, +\infty)\):
- \( y' = 0 \) khi \( 1 - x^2 = 0 \) hay \( x = 1 \).
- Khi \( 0 \leq x < 1 \), \( y' > 0 \), 
- Khi \( x > 1 \), \( y' < 0 \),

Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) đồng biến trên khoảng \([0, 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1, +\infty)\). Điểm \( x = 1 \) là điểm cực đại của hàm số trên đoạn xét