Để tính giá trị của biểu thức:

\[ P = 12 \cdot (5^2 + 1) \cdot (5^4 + 1) \cdot (5^8 + 1) \cdot (5^{16} + 1) \]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính các giá trị cụ thể trong biểu thức

1. **Tính \(5^2 + 1\):**

\[
5^2 = 25
\]
\[
5^2 + 1 = 25 + 1 = 26
\]

2. **Tính \(5^4 + 1\):**

\[
5^4 = 625
\]
\[
5^4 + 1 = 625 + 1 = 626
\]

3. **Tính \(5^8 + 1\):**

\[
5^8 = 390625
\]
\[
5^8 + 1 = 390625 + 1 = 390626
\]

4. **Tính \(5^{16} + 1\):**

\[
5^{16} = 152587890625
\]
\[
5^{16} + 1 = 152587890625 + 1 = 152587890626
\]

### Bước 2: Tính tích các giá trị trên

\[
P = 12 \cdot 26 \cdot 626 \cdot 390626 \cdot 152587890626
\]

### Kiểm tra mối liên hệ giữa các số:

Sử dụng tính chất của biểu thức:

\[
(5^2 - 1)(5^2 + 1) = 5^4 - 1
\]
\[
(5^4 - 1)(5^4 + 1) = 5^8 - 1
\]
\[
(5^8 - 1)(5^8 + 1) = 5^{16} - 1
\]

Ta có:

\[
(5^2 + 1) \cdot (5^4 + 1) \cdot (5^8 + 1) \cdot (5^{16} + 1) = (5^{32} - 1) \cdot (5^{16} + 1) = 5^{32} - 1
\]

Vì vậy:

\[
12 \cdot (5^{32} - 1) = 12 \cdot (152587890625 - 1) = 12 \cdot 152587890624
\]

### Tính kết quả cuối cùng:

\[
P = 12 \cdot 152587890624 = 1831054687496
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \(P\) là \(1831054687496\).

Để tính giá trị biểu thức

\[
P = 12 (5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} +1),
\]

trước tiên hãy viết lại và tìm cách đơn giản hóa các phần trong biểu thức.

Ta có các phần như sau:
- \(5^2 + 1 = 25 + 1 = 26\),
- \(5^4 + 1 = 625 + 1 = 626\),
- \(5^8 + 1 = 390625 + 1 = 390626\),
- \(5^{16} + 1 = 152587890625 + 1 = 152587890626\).

Thay vào biểu thức, ta có:

\[
P = 12 \times 26 \times 626 \times 390626 \times 152587890626.
\]

Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một phương pháp khác để đơn giản hóa biểu thức này.

### Nhận Diện Quy Luật

Ta có thể sử dụng quy luật của các số mũ:
\[
x^2 + 1 = (x + i)(x - i),
\]

và
\[
x^{2n} + 1 = (x^{2^{n-1}} + 1)(x^{2^{n-1}} - 1).
\]

Tuy nhiên, để tính giá trị biểu thức một cách đơn giản hơn, ta nhận ra rằng:

\[
5^{32} - 1 = (5^{16} - 1)(5^{16} + 1),
\]
\[
5^{32} - 1 = (5^8 - 1)(5^8 + 1)(5^{16} + 1).
\]

Rõ ràng rằng:

\[
(5^k + 1) \text{ thuộc vào dạng này, cho } k = 2, 4, 8, 16.
\]

Bây giờ sử dụng điều đó:

Tìm giá trị \(P\):

\[
P = 12 \times \frac{(5^{32} - 1)}{(5 - 1)} = 12 \times \frac{5^{32} - 1}{4}.
\]

Bây giờ, hãy tính \(5^{32} - 1\):

Chúng ta không cần tính chính xác giá trị lớn của \(5^{32}\), nhưng có thể sử dụng phần thập phân:

\[
P = 3 \times (5^{32} - 1).
\]

### Kết Luận
Bất kể giá trị thực chất của \(5^{32} - 1\) là bao nhiêu, ta đã có được \(P = 3 \times (5^{32} - 1)\).

Do đó, giá trị biểu thức \(P\) sẽ được xác định một cách chính xác hơn từ kết quả cuối cùng thông qua điều này.

Nếu cần thêm chi tiết, ta có thể chính xác hóa hơn nữa theo quy trình tính toán đại số.