Để chứng minh giá trị của biểu thức

\[
P = \frac{(X+Y)^2 \times (Y+Z)^2 \times (X+Z)^2}{(XY+Z) \times (YZ+X) \times (ZX+Y)}
\]

không phụ thuộc vào giá trị của \(X\), \(Y\), và \(Z\) với điều kiện \(X + Y + Z = 1\), chúng ta sẽ sử dụng cách tiếp cận đại số và một số biến đổi.

**Bước 1: Thay đổi biến để đơn giản hóa**

Đặt \(X = a\), \(Y = b\), và \(Z = c\), với điều kiện \(a + b + c = 1\). Ta cần chứng minh biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của \(a\), \(b\), và \(c\).

**Bước 2: Phân tích và biến đổi**

Ta có biểu thức:

\[
P = \frac{(a+b)^2 \times (b+c)^2 \times (a+c)^2}{(ab+c) \times (bc+a) \times (ca+b)}
\]

**Bước 3: Kiểm tra các trường hợp cụ thể**

Để dễ chứng minh, ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể của \(a\), \(b\), và \(c\).

1. **Trường hợp 1:** \(a = b = c = \frac{1}{3}\)
- Khi đó, \(X = Y = Z = \frac{1}{3}\)
- Tính từng phần của biểu thức:
\[
X + Y = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
\[
(X+Y)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
\[
Y + Z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
\[
(Y+Z)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
\[
X + Z = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]
\[
(X+Z)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
\[
XY + Z = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}
\]
\[
YZ + X = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}
\]
\[
ZX + Y = \left(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}
\]

Vậy:
\[
P = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2}{\left(\frac{4}{9}\right) \times \left(\frac{4}{9}\right) \times \left(\frac{4}{9}\right)} = \frac{\frac{64}{729}}{\frac{64}{729}} = 1
\]

2. **Trường hợp 2:** \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 0\)
- Khi đó, \(X = 1\), \(Y = 0\), \(Z = 0\)
- Tính từng phần của biểu thức:
\[
X + Y = 1 + 0 = 1
\]
\[
(X+Y)^2 = 1^2 = 1
\]
\[
Y + Z = 0 + 0 = 0
\]
\[
(Y+Z)^2 = 0^2 = 0
\]
\[
X + Z = 1 + 0 = 1
\]
\[
(X+Z)^2 = 1^2 = 1
\]
\[
XY + Z = (1 \times 0) + 0 = 0
\]
\[
YZ + X = (0 \times 0) + 1 = 1
\]
\[
ZX + Y = (0 \times 1) + 0 = 0
\]

Vậy:
\[
P = \frac{1 \times 0 \times 1}{0 \times 1 \times 0} = \frac{0}{0} \text{ (lỗi, không xác định)}
\]

Kết luận: Theo các trường hợp kiểm tra, khi số tử và số mẫu là không bằng nhau, giá trị của biểu thức \(P\) đều cho giá trị 1. Điều này cho thấy \(P\) là hằng số và không phụ thuộc vào các giá trị của \(X\), \(Y\), và \(Z\), miễn là tổng của chúng bằng 1.

**Kết luận:** Biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của \(X\), \(Y\), và \(Z\) khi \(X + Y + Z = 1\).