Để rút gọn biểu thức đại số \( C = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4x - 6y + 25 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. **Nhóm các hạng tử:**

\[
C = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4x - 6y + 25
\]

Nhóm các hạng tử có thể dễ dàng hoàn thành bình phương:

\[
C = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (5y^2 - 4y^2) + 4x - 6y + 25
\]

### 2. **Hoàn thành bình phương:**

- Nhóm hạng tử \( x^2 + 4xy + 4y^2 \):

Đây là một bình phương hoàn chỉnh:

\[
x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2
\]

- Đưa các hạng tử còn lại vào biểu thức:

\[
C = (x + 2y)^2 + (5y^2 - 4y^2) + 4x - 6y + 25
\]

\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 + 4x - 6y + 25
\]

### 3. **Nhóm các hạng tử còn lại:**

Nhóm \(4x - 6y\) và các hạng tử còn lại để tìm bình phương hoàn chỉnh:

\[
4x - 6y
\]

Đưa các hạng tử \(4x - 6y\) vào phần cần hoàn thành bình phương:

\[
4x - 6y = 2 \cdot 2x - 2 \cdot 3y
\]

Nhưng điều này không thể hoàn thành bình phương ngay lập tức.

### 4. **Hoàn thành bình phương còn lại:**

Kết hợp:

\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 + 4x - 6y + 25
\]

### 5. **Tìm bình phương hoàn chỉnh cho các phần còn lại:**

Tìm một biểu thức mà thêm vào \(4x - 6y + 25\) sẽ tạo thành một bình phương hoàn chỉnh:

\[
4x - 6y = 2(x + 2y) - 6y
\]

Nhưng chúng ta có thể sử dụng định lý để làm việc với các hạng tử.

### Kết quả:

Biểu thức \(C\) có thể được viết như sau sau khi nhóm và sắp xếp:

\[
C = (x + 2y)^2 + (y - 3)^2 + 16
\]

Tóm lại:

\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 - 6y + 25
\]

Chúng ta có thể rút gọn và kiểm tra từng bước để đạt được biểu thức đơn giản hơn.

**Kết quả cuối cùng của biểu thức là:**

\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 - 6y + 25
\]

Để phân tích biểu thức \( C = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4x - 6y + 25 \), chúng ta sẽ nhóm các hạng tử và thực hiện một số sắp xếp lại.

1. Trước hết, hãy nhóm các hạng tử lại:
\[
C = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4x - 6y + 25
\]

2. Nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \):
- Nhóm \( x^2 + 4xy + 5y^2 \) với các hạng tử chứa \( x \) và \( y \).
- Nhóm \( 4x - 6y + 25 \) lại với nhau.

3. Đầu tiên, chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho biểu thức \( x^2 + 4xy + 5y^2 \):
\[
x^2 + 4xy + 5y^2 = (x + 2y)^2 + y^2
\]
Đây là kết quả của việc hoàn thành bình phương cho cụm \( x^2 + 4xy + 4y^2 \) và thêm \( y^2 \).

4. Bây giờ, chúng ta thay lại vào biểu thức \( C \):
\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 + 4x - 6y + 25
\]

5. Tiếp theo, chúng ta đã có:
\[
C = (x + 2y)^2 + y^2 + 4x - 6y + 25
\]
Chúng ta sẽ nghiệp các hạng tử \( 4x - 6y + 25 \):
- Chia ra:
\[
4x - 6y + 25 = 4(x + \frac{y}{2}) - 12 + 25 = 4(x) - 6(y) + 13
\]

Vì \( C \) phức tạp hơn, chúng ta có thể thử cách kiểm tra các giá trị cụ thể cho \( x\) và \(y\) hoặc tìm yếu tố hoặc cực trị để đơn giản hóa hơn nữa. Tuy nhiên, ở dạng hiện tại, biểu thức đã được chuẩn hóa và các hạng tử đã được sắp xếp.

Nếu cần một dạng cụ thể hơn, có thể tìm điểm cực trị thông qua đạo hàm riêng phần hoặc sử dụng phương pháp khác cho cụ thể problem mà bạn đang muốn giải quyết.

Nếu có thông tin bổ sung hoặc bạn muốn hướng dẫn cụ thể hơn, hãy cho tôi biết!