Để giải các phương trình sau, chúng ta sẽ thực hiện các bước tính toán cần thiết.

### Phương trình 1: \(\frac{1}{3}x + 1 = 5x + 2\)

**Bước 1: Đưa tất cả các hạng tử có \(x\) về một bên và các hạng tử số về bên còn lại.**

- Đưa các hạng tử có \(x\) về một bên:

\[
\frac{1}{3}x - 5x = 2 - 1
\]

**Bước 2: Thực hiện các phép toán.**

- Cộng và trừ các hạng tử số:

\[
\frac{1}{3}x - 5x = -1
\]

- Chuyển đổi \(-5x\) về cùng mẫu số với \(\frac{1}{3}x\):

\[
\frac{1}{3}x - \frac{15}{3}x = -1
\]

- Tinh tổng các hạng tử có \(x\):

\[
\frac{1 - 15}{3}x = -1
\]

\[
\frac{-14}{3}x = -1
\]

- Giải phương trình:

\[
-14x = -3
\]

\[
x = \frac{3}{14}
\]

### Phương trình 2: \(\frac{2}{-2}[x + 3(x - 1)] = 4 + x\)

**Bước 1: Đơn giản hóa biểu thức bên trái.**

- Tính giá trị của \(\frac{2}{-2}\):

\[
\frac{2}{-2} = -1
\]

- Đơn giản hóa biểu thức bên trong dấu ngoặc:

\[
x + 3(x - 1) = x + 3x - 3 = 4x - 3
\]

- Nhân \(-1\) vào biểu thức bên trong:

\[
-1 \cdot (4x - 3) = -4x + 3
\]

**Bước 2: Đặt biểu thức bên trái bằng biểu thức bên phải.**

\[
-4x + 3 = 4 + x
\]

**Bước 3: Đưa tất cả các hạng tử có \(x\) về một bên và các hạng tử số về bên còn lại.**

- Đưa các hạng tử có \(x\) về một bên:

\[
-4x - x = 4 - 3
\]

- Thực hiện phép toán:

\[
-5x = 1
\]

- Giải phương trình:

\[
x = -\frac{1}{5}
\]

### Tóm tắt kết quả:

1. Nghiệm của phương trình \(\frac{1}{3}x + 1 = 5x + 2\) là:

\[
x = \frac{3}{14}
\]

2. Nghiệm của phương trình \(\frac{2}{-2}[x + 3(x - 1)] = 4 + x\) là:

\[
x = -\frac{1}{5}
\]

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một:

### Phương trình 1:
\[
\frac{1}{3}x + 1 = 5x + 2
\]
**Giải:**
1. Nhân cả hai vế với 3 để bỏ đi mẫu số:
\[
x + 3 = 15x + 6
\]
2. Chuyển các hạng tử về một bên:
\[
x - 15x = 6 - 3
\]
\[
-14x = 3
\]
3. Chia cả hai bên cho -14:
\[
x = -\frac{3}{14}
\]

### Phương trình 2:
\[
-\frac{2}{-2}[x + 3(x - 1)] = 4 + x
\]
**Giải:**
1. Dễ dàng rút ngắn với -2:
\[
[x + 3(x - 1)] = 4 + x
\]
2. Mở ngoặc:
\[
x + 3x - 3 = 4 + x
\]
\[
4x - 3 = 4 + x
\]
3. Chuyển các hạng tử về một bên:
\[
4x - x = 4 + 3
\]
\[
3x = 7
\]
4. Chia cả hai bên cho 3:
\[
x = \frac{7}{3}
\]

### Phương trình 3:
\[
4x - 3 = 2x + 2
\]
**Giải:**
1. Chuyển \( 2x \) sang bên trái:
\[
4x - 2x - 3 = 2
\]
\[
2x - 3 = 2
\]
2. Cộng 3 vào cả hai bên:
\[
2x = 5
\]
3. Chia cả hai bên cho 2:
\[
x = \frac{5}{2}
\]

### Phương trình 4:
\[
-\frac{5}{-5}[2x - 2(x + 1)] = 6 - x
\]
**Giải:**
1. Rút gọn:
\[
[2x - 2(x + 1)] = 6 - x
\]
2. Mở ngoặc:
\[
2x - 2x - 2 = 6 - x
\]
\[
-2 = 6 - x
\]
3. Chuyển x sang trái:
\[
x - 2 = 6
\]
4. Cộng 2 vào cả hai bên:
\[
x = 8
\]

### Phương trình 5:
\[
2x - (3 - 5x) = 4(x + 3)
\]
**Giải:**
1. Giải phương trình:
\[
2x - 3 + 5x = 4x + 12
\]
\[
7x - 3 = 4x + 12
\]
2. Chuyển \( 4x \) sang bên trái:
\[
7x - 4x = 12 + 3
\]
\[
3x = 15
\]
3. Chia cả hai bên cho 3:
\[
x = 5
\]

### Phương trình 6:
\[
\frac{5 - (6 - x)}{1} = 4(3 - 2x)
\]
**Giải:**
1. Xử lý bên trái:
\[
5 - 6 + x = 12 - 8x
\]
\[
-1 + x = 12 - 8x
\]
2. Chuyển \( 8x \) sang bên trái:
\[
x + 8x = 12 + 1
\]
\[
9x = 13
\]
3. Chia cho 9:
\[
x = \frac{13}{9}
\]

### Phương trình 7:
\[
\frac{1}{4}(3x - 2) - 3(x - 4) = 7x + 20
\]
**Giải:**
1. Nhân đai điều kiện:
\[
\frac{3x}{4} - \frac{1}{2} - 3x + 12 = 7x + 20
\]
2. Kết hợp lại:
\[
\frac{3x}{4} - 3x + \frac{23}{2} = 7x + 20
\]
\[
-\frac{9x}{4} = 20 - \frac{23}{2}
\]
3. Chuyển để có:
\[
-\frac{9x}{4} = \frac{40 - 23}{2} = \frac{17}{2}
\]
4. Nhân cả hai bên với -4/9:
\[
x = -\frac{68}{9}
\]

Tóm lại, kết quả các phương trình lần lượt là:
1. \( x = -\frac{3}{14} \)
2. \( x = \frac{7}{3} \)
3. \( x = \frac{5}{2} \)
4. \( x = 8 \)
5. \( x = 5 \)
6. \( x = \frac{13}{9} \)
7. \( x = -\frac{68}{9} \)