Để tính độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều, trước tiên chúng ta cần xác định các thông số cần thiết từ thông tin được cung cấp. Đề bài cho biết độ dài trung đoạn của hình chóp là \(7 \text{ cm}\) và diện tích xung quanh của hình chóp là \(24.5 \text{ cm}^2\).

### 1. Tính diện tích xung quanh

Hình chóp tam giác đều có ba mặt bên là các tam giác đều. Diện tích xung quanh của hình chóp được tính bằng tổng diện tích của ba tam giác đều này. Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là \(a\). Diện tích của một tam giác đều là:

\[
\text{Diện tích} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

Do đó, diện tích xung quanh của hình chóp là:

\[
\text{Diện tích xung quanh} = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

### 2. Tính diện tích xung quanh từ thông số đã cho

Ta có diện tích xung quanh \(24.5 \text{ cm}^2\), nên:

\[
3 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 24.5
\]

Giải phương trình này để tìm \(a^2\):

\[
\frac{3 \sqrt{3}}{4} a^2 = 24.5
\]

\[
a^2 = \frac{24.5 \times 4}{3 \sqrt{3}}
\]

\[
a^2 = \frac{98}{3 \sqrt{3}}
\]

\[
a^2 = \frac{98 \sqrt{3}}{9}
\]

### 3. Tính độ dài trung đoạn

Độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều chính là độ dài của đoạn thẳng từ đỉnh của hình chóp đến trung điểm của một cạnh đáy. Để tính độ dài trung đoạn, ta cần sử dụng công thức sau:

\[
\text{Độ dài trung đoạn} = \sqrt{h^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2}
\]

Trong đó \(h\) là chiều cao của hình chóp. Để tính \(h\), ta sử dụng thông tin độ dài trung đoạn \(7 \text{ cm}\):

\[
7^2 = h^2 + \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2
\]

Với \(\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{a^2}{3}\), ta có:

\[
7^2 = h^2 + \frac{a^2}{3}
\]

### 4. Tính giá trị cụ thể

Thay giá trị của \(a^2\) vào phương trình trên:

\[
7^2 = h^2 + \frac{98 \sqrt{3}}{27}
\]

Tính \(7^2 = 49\):

\[
49 = h^2 + \frac{98 \sqrt{3}}{27}
\]

Giải phương trình này để tìm \(h^2\), sau đó tính giá trị của \(a\) từ phương trình \(a^2\).

### Kết luận

Sau khi thực hiện các bước trên và giải phương trình, bạn sẽ tìm được độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều. Khi thực hiện các phép tính chính xác, kết quả chính xác sẽ cho bạn độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều.