Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

với điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \) và \( x, y, z \) khác 0 đôi một, ta bắt đầu bằng cách xử lý điều kiện.

### 1. Biến đổi Điều kiện

Từ điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), chúng ta có:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{z}
\]

Nhân cả hai vế với \( xyz \):

\[
yz + zx = -xy
\]

Hay:

\[
yz + zx + xy = 0
\]

### 2. Biến đổi Biểu thức

Ta cần chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

Thay \( yz + zx + xy = 0 \):

\[
2yz + 2zx + 2xy = -yz - zx - xy = - (yz + zx + xy)
\]

Nên:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} - (yz + zx + xy)
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} - 0
\]

Như vậy:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}
\]

### 3. Tính giá trị

Khi thay vào biểu thức cần chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018})
\]

Ta cần tính:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018})
\]

Với điều kiện:

\[
yz + zx + xy = 0
\]

Ta thay vào ta có:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

Như vậy, điều cần chứng minh đã hoàn tất.

### Kết luận

Biểu thức \( \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) \) quả thực bằng \( xy + yz + zx \) khi điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \) được thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

với điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \) và \( x, y, z \) khác 0 đôi một, ta bắt đầu bằng cách xử lý điều kiện.

### 1. Biến đổi Điều kiện

Từ điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \), chúng ta có:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{z}
\]

Nhân cả hai vế với \( xyz \):

\[
yz + zx = -xy
\]

Hay:

\[
yz + zx + xy = 0
\]

### 2. Biến đổi Biểu thức

Ta cần chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

Thay \( yz + zx + xy = 0 \):

\[
2yz + 2zx + 2xy = -yz - zx - xy = - (yz + zx + xy)
\]

Nên:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} - (yz + zx + xy)
\]

Do đó:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} - 0
\]

Như vậy:

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2}
\]

### 3. Tính giá trị

Khi thay vào biểu thức cần chứng minh:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018})
\]

Ta cần tính:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018})
\]

Với điều kiện:

\[
yz + zx + xy = 0
\]

Ta thay vào ta có:

\[
\left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

Như vậy, điều cần chứng minh đã hoàn tất.

### Kết luận

Biểu thức \( \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + 2yz + 2zx + 2xy \right) \cdot (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) \) quả thực bằng \( xy + yz + zx \) khi điều kiện \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \) được thỏa mãn.

Answer 3

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \)

\[
\frac{xy + yz + zx}{xyz} = 0
\]
Do đó:
\[
xy + yz + zx = 0
\]

Xét biểu thức \(\frac{1}{x^2} + 2yz + \frac{1}{y^2} + 2zx + \frac{1}{z^2} + 2xy\).

\[
\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2}{x^2y^2z^2}
\]
Còn:
\[
2yz + 2zx + 2xy
\]
đơn giản chỉ là \(2(xy + yz + zx)\), nhưng \(xy + yz + zx = 0\), do đó phần này cũng bằng 0.

=>\[
\frac{1}{x^2} + 2yz + \frac{1}{y^2} + 2zx + \frac{1}{z^2} + 2xy = \frac{y^2z^2 + z^2x^2 + x^2y^2}{x^2y^2z^2}
\]

pt nhân tử \(x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}\)

\(xy + yz + zx\), mà \(xy + yz + zx = 0\) từ điều kiện đề bài.

Do \(xy + yz + zx = 0\), đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh là một dạng của \(0 = 0\), điều này luôn đúng.

vay\[
(\frac{1}{x^2} + 2yz + \frac{1}{y^2} + 2zx + \frac{1}{z^2} + 2xy) \times (x^{2018} + y^{2018} + z^{2018}) = xy + yz + zx
\]

2 câu trả lời 418

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7