Để phân tích đa thức thành nhân tử và tính giá trị của biểu thức \(A\) với các giá trị của \(x\) và \(y\), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Phân tích đa thức \( A = x^3 - 2x^2y - 4xy^2 + 8y^3 \)

Đa thức này có thể được phân tích bằng cách nhóm các hạng tử và áp dụng các phương pháp phân tích thích hợp:

- Nhóm các hạng tử theo từng nhóm:

\[
A = x^3 - 2x^2y - 4xy^2 + 8y^3
\]

- Nhóm các hạng tử theo cách có thể khai thác được yếu tố chung:

\[
A = (x^3 - 2x^2y) - (4xy^2 - 8y^3)
\]

- Phân tích từng nhóm:

- Trong nhóm đầu tiên \((x^3 - 2x^2y)\), yếu tố chung là \(x^2\):

\[
x^3 - 2x^2y = x^2(x - 2y)
\]

- Trong nhóm thứ hai \(-(4xy^2 - 8y^3)\), yếu tố chung là \(-4y^2\):

\[
- (4xy^2 - 8y^3) = -4y^2(x - 2y)
\]

- Thay vào biểu thức gốc:

\[
A = x^2(x - 2y) - 4y^2(x - 2y)
\]

- Thay \(x - 2y\) làm yếu tố chung:

\[
A = (x - 2y)(x^2 - 4y^2)
\]

- Phân tích tiếp \(x^2 - 4y^2\) thành hiệu hai bình phương:

\[
x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)
\]

- Do đó:

\[
A = (x - 2y)(x - 2y)(x + 2y) = (x - 2y)^2(x + 2y)
\]

### 2. Tính giá trị của \(A\) với các giá trị \(x\) và \(y\):

- **Với \(x = -4\) và \(y = 2\)**:

\[
A = (x - 2y)^2 (x + 2y)
\]

- Thay giá trị vào biểu thức:

\[
x - 2y = -4 - 2 \cdot 2 = -4 - 4 = -8
\]
\[
x + 2y = -4 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0
\]

- Do đó:

\[
A = (-8)^2 \cdot 0 = 64 \cdot 0 = 0
\]

- **Với \(x = 6\) và \(y = 3\)**:

\[
A = (x - 2y)^2 (x + 2y)
\]

- Thay giá trị vào biểu thức:

\[
x - 2y = 6 - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0
\]
\[
x + 2y = 6 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12
\]

- Do đó:

\[
A = 0^2 \cdot 12 = 0 \cdot 12 = 0
\]

### Tóm tắt

- **Phân tích đa thức:** \( A = (x - 2y)^2 (x + 2y) \)
- **Giá trị của \(A\):**
- Với \(x = -4\) và \(y = 2\): \(A = 0\)
- Với \(x = 6\) và \(y = 3\): \(A = 0\)

Để phân tích đa thức \( A = x^3 - 2x^2y - 4xy^2 + 8y^3 \) thành nhân tử, ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau hoặc sử dụng các lý thuyết về đa thức.

### Bước 1: Phân tích đa thức

Ta có thể nhóm \( A \) thành 2 phần như sau:

\[
A = (x^3 - 2x^2y) + (-4xy^2 + 8y^3)
\]

**Nhóm 1:**

\[
= x^2(x - 2y)
\]

**Nhóm 2:**

\[
= -4y^2(x - 2y)
\]

Giờ ta sẽ kết hợp chúng lại:

\[
A = x^2(x - 2y) - 4y^2(x - 2y)
\]

Ta nhận thấy cả hai phần có chung yếu tố \( (x - 2y) \):

\[
A = (x - 2y)(x^2 - 4y^2)
\]

**Bước 2: Phân tích tiếp phần \( x^2 - 4y^2 \)**

Ta có thể sử dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\[
x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)
\]

### Kết quả phân tích

Vậy biểu thức \( A \) có thể được phân tích thành:

\[
A = (x - 2y)(x - 2y)(x + 2y) = (x - 2y)^2(x + 2y)
\]

### Bước 3: Tính giá trị của \( A \) với các giá trị \( x \) và \( y \)

#### 1. Với \( x = -4 \) và \( y = 2 \):

\[
A = (-4 - 2 \cdot 2)^2 (-4 + 2 \cdot 2)
\]
\[
= (-4 - 4)^2 (-4 + 4)
\]
\[
= (-8)^2 \cdot 0
\]
\[
= 64 \cdot 0 = 0
\]

#### 2. Với \( x = 6 \) và \( y = 3 \):

\[
A = (6 - 2 \cdot 3)^2 (6 + 2 \cdot 3)
\]
\[
= (6 - 6)^2 (6 + 6)
\]
\[
= 0^2 \cdot 12
\]
\[
= 0 \cdot 12 = 0
\]

### Kết quả cuối cùng

- Giá trị của \( A \) với \( x = -4 \) và \( y = 2 \) là \( 0 \).
- Giá trị của \( A \) với \( x = 6 \) và \( y = 3 \) là \( 0 \).