Để tính tổng \( S \) của dãy số sau:

\[
S = \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + \cos 30^\circ + \cdots + \cos 70^\circ
\]

Ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và phương pháp tổng quát. Dãy số trên là một chuỗi các giá trị cosine, với các góc từ \(10^\circ\) đến \(70^\circ\) theo bước \(10^\circ\).

### Công thức Tổng của Dãy Cosine

Để tính tổng của một chuỗi cosine đều như thế này, ta có thể sử dụng công thức tổng của các hàm cosine. Trong trường hợp này, các góc đều là bội số của \(10^\circ\), và ta có tổng từ \( \cos 10^\circ \) đến \( \cos 70^\circ \). Công thức tổng của dãy số này là:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \cos \left(a + kd\right)
\]

Trong đó, \(a\) là góc bắt đầu, \(d\) là bước nhảy, và \(n\) là số lượng số hạng.

### Sử dụng Công thức Tổng

Trong trường hợp của chúng ta:

- \(a = 10^\circ\)
- \(d = 10^\circ\)
- \(n = 7\) (vì có các góc: \(10^\circ, 20^\circ, 30^\circ, 40^\circ, 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ\))

Công thức tổng cho dãy số cosine đều là:

\[
\sum_{k=0}^{n-1} \cos \left(a + kd\right) = \frac{\sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)} \cdot \cos\left(a + \frac{(n-1)d}{2}\right)
\]

Áp dụng vào bài toán:

- \(n = 7\)
- \(d = 10^\circ\)
- \(a = 10^\circ\)

### Tính Tổng

1. **Tính \(\frac{nd}{2}\):**

\[
\frac{7 \times 10^\circ}{2} = 35^\circ
\]

2. **Tính \(\frac{d}{2}\):**

\[
\frac{10^\circ}{2} = 5^\circ
\]

3. **Áp dụng vào công thức:**

\[
\sum_{k=0}^{6} \cos (10^\circ + 10^\circ k) = \frac{\sin(35^\circ)}{\sin(5^\circ)} \cdot \cos \left(10^\circ + \frac{60^\circ}{2}\right)
\]

4. **Tính giá trị \(\cos \left(10^\circ + 30^\circ \right)\):**

\[
\cos 40^\circ
\]

5. **Tính giá trị của \(\frac{\sin(35^\circ)}{\sin(5^\circ)}\):**

- Ta cần biết các giá trị này từ bảng lượng giác hoặc máy tính.

Kết quả cuối cùng sẽ là giá trị tính từ các bước trên. Các giá trị lượng giác cụ thể cho các góc có thể được tra cứu hoặc tính toán bằng máy tính, nhưng đây là phương pháp tổng quát để tính toán tổng của dãy số cosine này.

### Kết luận

Dựa trên công thức và tính toán cụ thể, ta sẽ có:

\[
S = \frac{\sin(35^\circ)}{\sin(5^\circ)} \cdot \cos 40^\circ
\]

Bạn có thể sử dụng máy tính để tính giá trị chính xác.