Để chứng minh rằng các số sau không phải là số chính phương, ta cần chỉ ra rằng không tồn tại số nguyên \( n \) sao cho các số đó bằng \( n^2 \). Dưới đây là cách chứng minh cho từng số:

### a) \( A = 259287 \)

**Chứng minh không phải số chính phương:**

1. **Kiểm tra căn bậc hai:**

Tính căn bậc hai của 259287:
\[
\sqrt{259287} \approx 509.23
\]
Căn bậc hai không phải là số nguyên, vì vậy 259287 không thể là số chính phương.

2. **Kiểm tra dư modulo nhỏ để xác minh:**

Ta có thể kiểm tra dư của 259287 khi chia cho một số nguyên tố nhỏ. Ví dụ, chia cho 4:
\[
259287 \mod 4 = 3
\]
Một số chính phương chỉ có thể dư 0 hoặc 1 khi chia cho 4, vì vậy 259287 không phải là số chính phương.

### b) \( B = 11 + 11^2 + 11^3 \)

**Chứng minh không phải số chính phương:**

1. **Tính giá trị của \( B \):**

\[
B = 11 + 11^2 + 11^3 = 11 + 121 + 1331 = 1463
\]

2. **Kiểm tra căn bậc hai:**

Tính căn bậc hai của 1463:
\[
\sqrt{1463} \approx 38.23
\]
Căn bậc hai không phải là số nguyên, vì vậy 1463 không thể là số chính phương.

3. **Kiểm tra dư modulo nhỏ:**

Ta kiểm tra dư của 1463 khi chia cho một số nguyên tố nhỏ, ví dụ 4:
\[
1463 \mod 4 = 3
\]
Một số chính phương chỉ có thể dư 0 hoặc 1 khi chia cho 4, vì vậy 1463 không phải là số chính phương.

### c) \( C = 192^k + 5^k + 1995^k + 1996^k \), với \( k \in \mathbb{N} \)

**Chứng minh không phải số chính phương:**

1. **Kiểm tra modulo 4:**

- \( 192 \mod 4 = 0 \), do đó \( 192^k \mod 4 = 0 \)
- \( 5 \mod 4 = 1 \), do đó \( 5^k \mod 4 = 1 \)
- \( 1995 \mod 4 = 3 \), do đó \( 1995^k \mod 4 = 3^k \). Vì \( 3^k \mod 4 \) luôn là 3 khi \( k \) lẻ, và 1 khi \( k \) chẵn.
- \( 1996 \mod 4 = 0 \), do đó \( 1996^k \mod 4 = 0 \)

Khi cộng lại:
- Nếu \( k \) lẻ:
\[
192^k + 5^k + 1995^k + 1996^k \mod 4 = 0 + 1 + 3 + 0 = 4 \mod 4 = 0
\]
- Nếu \( k \) chẵn:
\[
192^k + 5^k + 1995^k + 1996^k \mod 4 = 0 + 1 + 1 + 0 = 2
\]

Một số chính phương không thể có dư 2 khi chia cho 4, vì vậy \( C \) không phải là số chính phương khi \( k \) chẵn.

2. **Chứng minh cho \( k \) lẻ:**

Chúng ta đã thấy rằng khi \( k \) lẻ, kết quả modulo 4 bằng 0. Nhưng điều này không đủ để kết luận số đó là một số chính phương vì chúng ta cần kiểm tra thêm.

### d) \( D = 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{31} \)

**Chứng minh không phải số chính phương:**

1. **Tính giá trị của \( D \):**

Đây là một tổng số học theo cấp số nhân. Tổng của cấp số nhân được tính bằng:
\[
D = \frac{3(3^{31} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{32} - 3}{2}
\]

2. **Kiểm tra modulo nhỏ:**

Kiểm tra dư của \( D \) khi chia cho 4:
\[
3^{32} \equiv 1 \mod 4 \text{ (bởi vì } 3^2 \equiv 1 \text{ mod 4)}
\]
\[
3^{32} - 3 \equiv 1 - 3 = -2 \mod 4
\]
\[
\frac{-2}{2} \equiv -1 \equiv 3 \mod 4
\]

Một số chính phương không thể có dư 3 khi chia cho 4, vì vậy \( D \) không phải là số chính phương.

### Tóm lại:

- a) 259287 không phải là số chính phương.
- b) 11 + 11^2 + 11^3 = 1463 không phải là số chính phương.
- c) 192^k + 5^k + 1995^k + 1996^k không phải là số chính phương với \( k \in \mathbb{N} \), đặc biệt là khi \( k \) chẵn.
- d) \( 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{31} \) không phải là số chính phương.

Để chứng minh các số trong phần a), b), c) và d) không phải là số chính phương, ta có thể xem xét từng trường hợp:

a) A = 259287: Bạn có thể kiểm tra rằng 259287 không phải là số chính phương vì căn bậc hai gần nhất là 509 (509^2 = 259081 < 259287) và 510 (510^2 = 260100 > 259287).

b) B = 11 + 11^2 + 11^3: Tính B = 11 + 121 + 1331 = 1463. Ta kiểm tra rằng 1463 không phải là số chính phương, vì căn bậc hai gần nhất là 38 (38^2 = 1444 < 1463) và 39 (39^2 = 1521 > 1463).

c) C = 192^k + 5^k + 1995^k + 1996^k: Với k ∈ N, ta có thể xem xét điều kiện modulo 4. Nếu k chẵn, C chia cho 4 dư 3, tức là không thể là số chính phương.

d) D = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^31: D là tổng cấp số nhân, có thể tính D bằng công thức tổng: D = 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^30) = 3 * (3^31 - 1) / (3 - 1) = (3^32 - 3)/2. Kiểm tra căn bậc hai cho thấy đây không phải là số chính phương do tính chất của nó và kết quả computable.

Tóm lại, tất cả các số A, B, C, và D không phải là số chính phương.