Để tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón, chúng ta sẽ sử dụng các công thức hình học cơ bản liên quan đến hình nón.

**Cho hình nón với:**
- Bán kính đáy \( r = 4 \text{ cm} \)
- Độ dài đường sinh \( l = 5 \text{ cm} \)

### 1. Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón được tính bằng công thức:

\[ A_{xq} = \pi r l \]

Thay giá trị vào công thức:

\[ A_{xq} = \pi \times 4 \times 5 \]
\[ A_{xq} = 20\pi \text{ cm}^2 \]

### 2. Diện tích toàn phần của hình nón

Diện tích toàn phần của hình nón bao gồm diện tích xung quanh và diện tích đáy. Diện tích đáy của hình nón là diện tích của một hình tròn:

\[ A_{day} = \pi r^2 \]

Thay giá trị vào công thức:

\[ A_{day} = \pi \times 4^2 \]
\[ A_{day} = 16\pi \text{ cm}^2 \]

Diện tích toàn phần \( A_{tp} \) là tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

\[ A_{tp} = A_{xq} + A_{day} \]
\[ A_{tp} = 20\pi + 16\pi \]
\[ A_{tp} = 36\pi \text{ cm}^2 \]

### 3. Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón được tính bằng công thức:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Để tính thể tích, chúng ta cần chiều cao \( h \) của hình nón. Ta có thể tính chiều cao từ độ dài đường sinh \( l \) và bán kính đáy \( r \) bằng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo thành bởi bán kính đáy, chiều cao và đường sinh.

Áp dụng định lý Pythagoras:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Thay giá trị vào công thức:

\[ 5^2 = 4^2 + h^2 \]
\[ 25 = 16 + h^2 \]
\[ h^2 = 25 - 16 \]
\[ h^2 = 9 \]
\[ h = \sqrt{9} \]
\[ h = 3 \text{ cm} \]

Thay giá trị \( h \) vào công thức tính thể tích:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 4^2 \times 3 \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 16 \times 3 \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 48\pi \]
\[ V = 16\pi \text{ cm}^3 \]

### Tổng kết:

- **Diện tích xung quanh**: \( 20\pi \text{ cm}^2 \)
- **Diện tích toàn phần**: \( 36\pi \text{ cm}^2 \)
- **Thể tích**: \( 16\pi \text{ cm}^3 \)