Để phân tích hàm số \( y = f(x) \) với đạo hàm \( f'(x) = x^2 + 2 \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. **Tìm hàm số \( f(x) \)**

Để tìm hàm số \( f(x) \), chúng ta tích phân đạo hàm \( f'(x) \):

\[
f'(x) = x^2 + 2
\]

Tích phân \( f'(x) \) để tìm \( f(x) \):

\[
f(x) = \int (x^2 + 2) \, dx
\]

\[
f(x) = \int x^2 \, dx + \int 2 \, dx
\]

\[
f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C
\]

Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân.

Vậy hàm số \( f(x) \) là:

\[
f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C
\]

### 2. **Tính đạo hàm bậc hai**

Để nghiên cứu tính chất của hàm số, chúng ta có thể tính đạo hàm bậc hai \( f''(x) \):

\[
f'(x) = x^2 + 2
\]

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2) = 2x
\]

### 3. **Phân tích tính đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị**

- **Tính đồng biến và nghịch biến**:

- Hàm số \( f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \) và nghịch biến khi \( f'(x) < 0 \).

- Xét \( f'(x) = x^2 + 2 \):
- \( x^2 + 2 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), vì \( x^2 \geq 0 \) và 2 là số dương.
- Do đó, \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \), nghĩa là hàm số \( f(x) \) là đồng biến trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \).

- **Tính chất điểm cực trị**:

- Vì \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \), hàm số không có điểm cực trị (điểm cực đại hoặc cực tiểu) trên \( \mathbb{R} \).

### 4. **Độ cong của đồ thị**

- Đạo hàm bậc hai \( f''(x) = 2x \) giúp ta xác định tính lồi hoặc lõm của đồ thị:

- \( f''(x) > 0 \) khi \( x > 0 \), hàm số lồi trên khoảng này.
- \( f''(x) < 0 \) khi \( x < 0 \), hàm số lõm trên khoảng này.
- \( f''(x) = 0 \) khi \( x = 0 \), tại đây hàm số có thể thay đổi tính lồi/lõm.

### Tổng kết:

- Hàm số \( f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C \) đồng biến trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \).
- Hàm số không có điểm cực trị vì đạo hàm bậc nhất luôn dương.
- Đồ thị của hàm số lồi khi \( x > 0 \) và lõm khi \( x < 0 \), với điểm \( x = 0 \) là điểm thay đổi tính lồi/lõm.

Hy vọng rằng những thông tin này giúp bạn hiểu rõ hơn về hàm số và tính chất của nó.