Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = 1 + \frac{1}{x} \) trên đoạn \([1, 2]\), chúng ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

Hàm số cho trước là:
\[
y = 1 + \frac{1}{x}
\]

Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(1 + \frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}
\]

### Bước 2: Xét dấu của đạo hàm

- Đạo hàm \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}\) luôn âm trên toàn bộ miền xác định của hàm số, vì \(x^2 > 0\) với mọi \(x \neq 0\). Điều này cho thấy hàm số \(y = 1 + \frac{1}{x}\) là hàm giảm trên miền xác định của nó.

### Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([1, 2]\)

- Tính giá trị của hàm số tại \(x = 1\):
\[
y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2
\]

- Tính giá trị của hàm số tại \(x = 2\):
\[
y(2) = 1 + \frac{1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5
\]

### Kết luận

- Vì hàm số giảm trên đoạn \([1, 2]\), giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này là giá trị tại \(x = 1\), và giá trị nhỏ nhất là giá trị tại \(x = 2\).

**Do đó:**
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([1, 2]\) là \(2\).
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([1, 2]\) là \(1.5\).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( Y 1 + \frac{1}{x} \) trên đoạn \([1, 2]\), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định đạo hàm
Đầu tiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số \( Y \):

\[
Y = 1 + \frac{1}{x}
\]

Đạo hàm của hàm này là:

\[
Y' = -\frac{1}{x^2}
\]

### Bước 2: Tìm các điểm cực trị
Vì \( Y' = -\frac{1}{x^2} \) luôn âm trên đoạn \( (0, +\infty) \), điều này cho thấy hàm số \( Y = 1 + \frac{1}{x} \) là hàm giảm trên khoảng này. Do đó, không có điểm cực trị nào trong đoạn \([1, 2]\).

### Bước 3: Tính giá trị tại các đầu mút của đoạn
Vì hàm số giảm, để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn, ta chỉ cần tính giá trị của hàm tại các đầu mút của đoạn.

1. Tại \( x = 1 \):

\[
Y(1) = 1 + \frac{1}{1} = 1 + 1 = 2
\]

2. Tại \( x = 2 \):

\[
Y(2) = 1 + \frac{1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5
\]

### Bước 4: Kết luận
- Giá trị lớn nhất \( Y \) trên đoạn \([1, 2]\) là \( Y(1) = 2 \).
- Giá trị nhỏ nhất \( Y \) trên đoạn \([1, 2]\) là \( Y(2) = 1.5 \).

Do đó:

- Giá trị lớn nhất là: \( \boxed{2} \)
- Giá trị nhỏ nhất là: \( \boxed{1.5} \)