Để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Hàm số \( y = 2x^4 - x^2 + 5 \)

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**

Đạo hàm cấp 1 của hàm số là:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^4 - x^2 + 5) = 8x^3 - 2x
\]

2. **Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \(\frac{dy}{dx} = 0\):**
\[
8x^3 - 2x = 0
\]
\[
2x(4x^2 - 1) = 0
\]
\[
2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^2 - 1 = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}
\]
Vậy các điểm cần xét là \( x = 0, \pm \frac{1}{2} \).

3. **Xét tính đơn điệu bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm:**

- Với \( x < -\frac{1}{2} \): Chọn \( x = -1 \)
\[
\frac{dy}{dx} = 8(-1)^3 - 2(-1) = -8 + 2 = -6 \quad (\text{âm})
\]
- Với \( -\frac{1}{2} < x < 0 \): Chọn \( x = -\frac{1}{4} \)
\[
\frac{dy}{dx} = 8\left(-\frac{1}{4}\right)^3 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{64} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \quad (\text{dương})
\]
- Với \( 0 < x < \frac{1}{2} \): Chọn \( x = \frac{1}{4} \)
\[
\frac{dy}{dx} = 8\left(\frac{1}{4}\right)^3 - 2\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{8}{64} - \frac{1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} \quad (\text{âm})
\]
- Với \( x > \frac{1}{2} \): Chọn \( x = 1 \)
\[
\frac{dy}{dx} = 8(1)^3 - 2(1) = 8 - 2 = 6 \quad (\text{dương})
\]

**Kết luận:**
- Hàm số tăng trên khoảng \( \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \)
- Hàm số giảm trên khoảng \( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)
- Hàm số tăng trên khoảng \( \left(0, \frac{1}{2}\right) \)
- Hàm số giảm trên khoảng \( \left(\frac{1}{2}, +\infty\right) \)

4. **Tìm cực trị:**
- Tại \( x = -\frac{1}{2} \), đạo hàm đổi từ âm sang dương, nên có cực tiểu.
- Tại \( x = 0 \), đạo hàm đổi từ dương sang âm, nên có cực đại.
- Tại \( x = \frac{1}{2} \), đạo hàm đổi từ âm sang dương, nên có cực tiểu.

### b) Hàm số \( y = -x^2 + 2x^2 + 1 \)

Đầu tiên, rút gọn hàm số:
\[
y = -x^2 + 2x^2 + 1 = x^2 + 1
\]

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]

2. **Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \(\frac{dy}{dx} = 0\):**
\[
2x = 0 \implies x = 0
\]

3. **Xét tính đơn điệu bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm:**
- Với \( x < 0 \), \( 2x < 0 \) (hàm số giảm)
- Với \( x > 0 \), \( 2x > 0 \) (hàm số tăng)

**Kết luận:**
- Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 0) \)
- Hàm số tăng trên khoảng \( (0, +\infty) \)

4. **Tìm cực trị:**
- Tại \( x = 0 \), hàm số đạt cực tiểu vì đạo hàm đổi từ âm sang dương.
- Giá trị cực tiểu tại \( x = 0 \):
\[
y = 0^2 + 1 = 1
\]

**Tóm lại:**
- Hàm số \( y = 2x^4 - x^2 + 5 \) có cực đại tại \( x = 0 \), và các cực tiểu tại \( x = \pm \frac{1}{2} \).
- Hàm số \( y = x^2 + 1 \) có cực tiểu tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 1 \).