Để giải bài toán tìm các phân thức $M$ và $N$ thỏa mãn các phương trình đã cho, chúng ta cần làm theo các bước sau:

### a) Tìm phân thức $M$

Ta cần tìm phân thức $M$ sao cho:

$\frac{M \cdot x^2 - 36}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4x - 24}{5x + 5}$

**1. Rút gọn mẫu số:**

- Mẫu số $x^2 + 2x + 1$ có thể viết lại thành $(x + 1)^2$.
- Mẫu số $5x + 5$ có thể viết lại thành $5(x + 1)$.

Vậy phương trình trở thành:

$\frac{M \cdot x^2 - 36}{(x + 1)^2} = \frac{4x - 24}{5(x + 1)}$

**2. Rút gọn phân số bên phải:**

- Tinh giản tử số $4x - 24$:

$4x - 24 = 4(x - 6)$

- Phân số bên phải trở thành:

$\frac{4(x - 6)}{5(x + 1)}$

**3. So sánh tử số và mẫu số:**

Để hai phân số này bằng nhau, tử số của phân số bên trái phải bằng tử số của phân số bên phải khi mẫu số giống nhau. Chúng ta sẽ nhân hai bên phương trình với mẫu số chung $5(x + 1)^2$:

$5(x + 1) \cdot (M \cdot x^2 - 36) = 4(x - 6) \cdot (x + 1)$

**4. Phân tích và giải:**

- Tinh giản biểu thức bên phải:

$4(x - 6) \cdot (x + 1) = 4(x^2 - 6x + x - 6) = 4(x^2 - 5x - 6)$

- Biểu thức bên trái:

$5 \cdot (M \cdot x^2 - 36) = 5M \cdot x^2 - 180$

- So sánh:

$5M \cdot x^2 - 180 = 4x^2 - 20x - 24$

- So sánh hệ số của các hạng tử tương ứng:

$5M = 4 \Rightarrow M = \frac{4}{5}$

$-180 = -24 \text{ (so sánh hằng số)}$

Vậy phân thức $M$ thỏa mãn là:

$\boxed{\frac{4}{5}}$

### b) Tìm phân thức $N$

Ta cần tìm phân thức $N$ sao cho:

$\frac{N}{x^2 - 9y^2} = \frac{3xy}{2x - 6y}$

**1. Rút gọn mẫu số:**

- $x^2 - 9y^2$ là một hiệu hai bình phương, có thể viết thành:

$x^2 - 9y^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

- $2x - 6y$ có thể viết thành:

$2(x - 3y)$

**2. So sánh hai phân số:**

Để hai phân số này bằng nhau, ta cần:

$\frac{N}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{3xy}{2(x - 3y)}$

**3. Nhân hai bên phương trình với mẫu số chung $(x - 3y)(x + 3y)$:**

$N = \frac{3xy \cdot (x - 3y)(x + 3y)}{2(x - 3y)}$

- Rút gọn:

$N = \frac{3xy \cdot (x + 3y)}{2}$

- Tinh giản:

$N = \frac{3xy \cdot x + 3xy \cdot 3y}{2} = \frac{3x^2y + 9xy^2}{2}$

Vậy phân thức $N$ thỏa mãn là:

$\boxed{\frac{3x^2y + 9xy^2}{2}}$

Phần a: Tìm phân thức M
Phương trình cần giải là: [ M \cdot \frac{x^2 - 36}{x^2 + 2x + 1} = \frac{4x - 24}{5x + 5} ]

Phân tích các biểu thức:

( x^2 - 36 ) có thể viết lại thành ( (x - 6)(x + 6) ).
( x^2 + 2x + 1 ) có thể viết lại thành ( (x + 1)^2 ).
( 4x - 24 ) có thể viết lại thành ( 4(x - 6) ).
( 5x + 5 ) có thể viết lại thành ( 5(x + 1) ).
Thay vào phương trình: [ M \cdot \frac{(x - 6)(x + 6)}{(x + 1)^2} = \frac{4(x - 6)}{5(x + 1)} ]
Rút gọn phương trình:

Chia cả hai vế cho ( x - 6 ): [ M \cdot \frac{x + 6}{(x + 1)^2} = \frac{4}{5(x + 1)} ]
Nhân cả hai vế với ( (x + 1) ): [ M \cdot \frac{x + 6}{x + 1} = \frac{4}{5} ]
Chia cả hai vế cho ( x + 6 ): [ M = \frac{4}{5} \cdot \frac{x + 1}{x + 6} ]
Phần b: Tìm phân thức N
Phương trình cần giải là: [ N \cdot \frac{x^2 - 9y2}{x2 y^2} = \frac{3xy}{2x - 6y} ]

Phân tích các biểu thức:

( x^2 - 9y^2 ) có thể viết lại thành ( (x - 3y)(x + 3y) ).
( x^2 y^2 ) có thể viết lại thành ( (xy)^2 ).
( 2x - 6y ) có thể viết lại thành ( 2(x - 3y) ).
Thay vào phương trình: [ N \cdot \frac{(x - 3y)(x + 3y)}{(xy)^2} = \frac{3xy}{2(x - 3y)} ]
Rút gọn phương trình:

Chia cả hai vế cho ( x - 3y ): [ N \cdot \frac{x + 3y}{(xy)^2} = \frac{3y}{2xy} ]
Nhân cả hai vế với ( xy ): [ N \cdot \frac{x + 3y}{xy} = \frac{3y}{2x} ]
Chia cả hai vế cho ( x + 3y ): [ N = \frac{3y}{2x} \cdot \frac{xy}{x + 3y} ]
Rút gọn: [ N = \frac{3y^2}{2x(x + 3y)} ]