Để giải bài toán xác suất, chúng ta cần tính xác suất của việc chọn một tập con $T$ từ tập $U = \{1, 2, 3, \ldots, 18\}$ sao cho tổng các phần tử của $T$ chia hết cho 3. Để làm điều này, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính tổng của tất cả các phần tử trong tập $U$:**

Tập $U$ có 18 phần tử, từ 1 đến 18. Tổng của tất cả các phần tử là:
$\text{Tổng} = \frac{18 \times (18 + 1)}{2} = \frac{18 \times 19}{2} = 171$

2. **Số lượng tất cả các tập con của $U$:**

Tập $U$ có 18 phần tử, vì vậy số lượng tất cả các tập con là:
$2^{18}$

3. **Tính số lượng tập con mà tổng các phần tử chia hết cho 3:**

Để tính số lượng các tập con mà tổng các phần tử chia hết cho 3, ta sử dụng nguyên lý sau:

- Tính toán theo công thức: số lượng các tập con mà tổng chia hết cho một số là $\frac{2^{n}}{k}$, với $n$ là số lượng phần tử của tập và $k$ là số nguyên tố chia hết.
- Trong trường hợp này, tổng số tập con của $U$ chia đều cho 3, vì tập hợp tất cả các phần tử và tổ hợp các phần tử sẽ cho ra số lượng tập con chia đều cho 3, do lý do đối xứng modulo.

Do đó, số lượng các tập con mà tổng chia hết cho 3 là:
$\frac{2^{18}}{3} = \frac{262144}{3} = 87381$

4. **Xác suất và kết quả:**

Xác suất của việc chọn một tập con sao cho tổng các phần tử chia hết cho 3 là:
$\text{Xác suất} = \frac{87381}{2^{18}} = \frac{87381}{262144}$

Rút gọn phân số:
- Kiểm tra $87381$ và $262144$ có nguyên tố cùng nhau. Ta thấy rằng phân số đã ở dạng tối giản vì 87381 và 262144 không có ước chung nào ngoài 1.

Từ đó, $m = 87381$ và $n = 262144$. Tổng $m + n$ là:
$m + n = 87381 + 262144 = 349525$

Vậy tổng $m + n$ là **349525**.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng lý thuyết xác suất và tổ hợp để tính xác suất chọn được tập con $T$ của tập $U = \{1, 2, 3, \ldots, 18\}$ sao cho tổng các phần tử của $T$, ký hiệu là $S(T)$, chia hết cho 3. Sau đó, ta sẽ tính xác suất này dưới dạng phân số $\frac{m}{n}$ với $m$ và $n$ là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau, rồi tính tổng $m + n$.

### Bước 1: Tính tổng các phần tử của tập $U$
Tập $U$ có các phần tử từ 1 đến 18. Tổng các phần tử của tập $U$ là:
$\text{Tổng} = 1 + 2 + 3 + \cdots + 18$
Sử dụng công thức tổng cấp số cộng:
$\text{Tổng} = \frac{18 \times 19}{2} = 171$

### Bước 2: Tính số tập con của $U$
Tập $U$ có 18 phần tử. Tổng số tập con của $U$ là:
$2^{18} = 262144$

### Bước 3: Tính số tập con sao cho tổng phần tử chia hết cho 3
Để giải bài toán này, ta sẽ dùng phương pháp đồng dư. Chúng ta cần tìm số tập con sao cho tổng của các phần tử chia hết cho 3. Ta sẽ dùng lý thuyết số dư modulo 3.

Ta có thể sử dụng nguyên lý đếm và một số lý thuyết trong tổ hợp để tính toán số lượng tập con sao cho tổng của các phần tử chia hết cho 3.

### Bước 4: Sử dụng Định lý tổng quát
Theo định lý tổng quát về số tập con có tổng chia hết cho một số, ta biết rằng số tập con của một tập con cho tổng chia hết cho 3 trong trường hợp này sẽ bằng số tập con chia đều cho các số dư modulo 3.

Với tập $U$ có tổng phần tử là 171 (tổng của tất cả các phần tử chia hết cho 3), thì số lượng các tập con của $U$ có tổng chia hết cho 3 là:
$\frac{1}{3} \times 2^{18}$

Tính cụ thể:
$\frac{2^{18}}{3} = \frac{262144}{3} = 87381$

### Bước 5: Tính xác suất
Xác suất chọn được một tập con sao cho tổng chia hết cho 3 là:
$\frac{\text{Số tập con có tổng chia hết cho 3}}{\text{Tổng số tập con}} = \frac{87381}{262144}$

### Bước 6: Rút gọn phân số
Ta cần tìm $m$ và $n$ sao cho phân số $\frac{87381}{262144}$ ở dạng tối giản. Ta thực hiện rút gọn phân số, chúng ta sẽ thấy rằng phân số này đã ở dạng tối giản với $m = 87381$ và $n = 262144$.

### Tính tổng $m + n$
$m + n = 87381 + 262144 = 349525$

Vậy tổng $m + n$ là $349525$.