Bước 1: Xác định thể tích của hộp

- Tấm nhôm ban đầu có dạng hình vuông, cạnh bằng 40 cm.
- Sau khi cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc, mỗi hình vuông có cạnh \( x \), ta sẽ gập các cạnh của tấm nhôm lên để tạo thành một hộp không nắp.

Sau khi cắt, kích thước của hộp là:
- Chiều dài và chiều rộng của đáy hộp là \( (40 - 2x) \) (do cắt 2 lần cạnh \( x \) từ mỗi chiều).
- Chiều cao của hộp là \( x \), bởi vì các cạnh tấm nhôm được gập lên tạo thành chiều cao.

Vậy thể tích của hộp \( V \) được tính bằng:
\[
V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} = (40 - 2x)(40 - 2x) \cdot x
\]

Ta có:
\[
V = x(40 - 2x)^2
\]

 Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất

Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích \( V \) lớn nhất, ta cần tìm cực trị của hàm \( V(x) \).

Đầu tiên, ta mở rộng biểu thức \( V \):
\[
V = x(40 - 2x)^2 = x(1600 - 160x + 4x^2)
\]
\[
V = 1600x - 160x^2 + 4x^3
\]

Bây giờ, ta tính đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
\[
\frac{dV}{dx} = 1600 - 320x + 12x^2
\]
Đặt đạo hàm bằng 0:
\[
1600 - 320x + 12x^2 = 0
\]

Chia phương trình cho 4 để đơn giản hóa:
\[
400 - 80x + 3x^2 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:
\[
3x^2 - 80x + 400 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-(-80) \pm \sqrt{(-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 400}}{2 \cdot 3}
\]
\[
x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 4800}}{6}
\]
\[
x = \frac{80 \pm \sqrt{1600}}{6}
\]
\[
x = \frac{80 \pm 40}{6}
\]

Vậy có hai nghiệm:
\[
x = \frac{80 + 40}{6} = \frac{120}{6} = 20 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{80 - 40}{6} = \frac{40}{6} \approx 6.67
\]

Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( x \)

- Khi \( x = 20 \), thì chiều dài và chiều rộng của đáy hộp bằng \( 40 - 2 \times 20 = 0 \), không tạo ra được hộp.
- Khi \( x \approx 6.67 \), ta có thể tạo ra một hộp có thể tích lớn.

Vậy giá trị \( x \) tối ưu để hộp có thể tích lớn nhất là khoảng \( 6.67 \) cm.