Để hiểu rõ hơn về hàm số \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \), ta có thể phân tích các đặc điểm chính của nó:

1. **Xác định miền xác định của hàm số (Domain):**
- Để hàm số có nghĩa, biểu thức bên trong căn phải không âm:
\[
3x - x^2 \geq 0
\]
- Đây là bất phương trình bậc hai, ta giải như sau:
\[
x^2 - 3x \leq 0
\]
\[
x(x - 3) \leq 0
\]
- Ta có hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = 3 \). Vì đây là bất phương trình \( \leq 0 \), nên:
\[
0 \leq x \leq 3
\]
- Vậy, miền xác định của hàm số là \( D = [0, 3] \).

2. **Tìm cực trị:**
- Để tìm cực trị của hàm số, ta cần tính đạo hàm của nó.
- Đạo hàm của \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi:
\[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}} \cdot (3 - 2x)
\]
- Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
\frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}} \cdot (3 - 2x) = 0
\]
- Điều này xảy ra khi \( 3 - 2x = 0 \), tức là \( x = \frac{3}{2} \).

3. **Xét tính chất hàm số trên các khoảng:**
- Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( [0, \frac{3}{2}] \) và \( [\frac{3}{2}, 3] \):
- Trên khoảng \( [0, \frac{3}{2}] \): \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến).
- Trên khoảng \( [\frac{3}{2}, 3] \): \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến).
- Do đó, \( x = \frac{3}{2} \) là điểm cực đại của hàm số.

4. **Giá trị cực đại:**
- Giá trị cực đại của hàm số tại \( x = \frac{3}{2} \) là:
\[
f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{3\left(\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}
\]

Tóm lại, hàm số \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) có miền xác định là \( D = [0, 3] \), đạt cực đại tại \( x = \frac{3}{2} \) với giá trị cực đại là \( \frac{3}{2} \).

Hàm số \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) là một hàm số gồm một phần căn bậc hai và một phần đa thức. Để nghiên cứu hàm số này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định của hàm số:**

Hàm số \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) chỉ định nghĩa khi biểu thức dưới căn có giá trị không âm, tức là:
\[
3x - x^2 \geq 0
\]

Để tìm miền xác định, ta giải bất phương trình:
\[
3x - x^2 \geq 0
\]

Ta viết lại bất phương trình:
\[
-x^2 + 3x \geq 0
\]
\[
x^2 - 3x \leq 0
\]

Phân tích đa thức thành tích:
\[
x(x - 3) \leq 0
\]

Để giải bất phương trình này, ta xác định các nghiệm của phương trình bậc hai \( x(x - 3) = 0 \), được \( x = 0 \) và \( x = 3 \). Ta vẽ dấu của biểu thức trên các khoảng phân chia bởi các nghiệm này:

- Khi \( x < 0 \), \( x(x - 3) \) dương.
- Khi \( 0 \leq x \leq 3 \), \( x(x - 3) \) âm.
- Khi \( x > 3 \), \( x(x - 3) \) dương.

Vì chúng ta cần \( x(x - 3) \leq 0 \), miền xác định của hàm số là:
\[
0 \leq x \leq 3
\]

2. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên:**

- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = \sqrt{3 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{0} = 0
\]
- Tại \( x = 3 \):
\[
f(3) = \sqrt{3 \cdot 3 - 3^2} = \sqrt{9 - 9} = \sqrt{0} = 0
\]

3. **Tìm cực trị của hàm số:**

Để tìm các cực trị, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số. Đặt:
\[
f(x) = \sqrt{3x - x^2}
\]

Đạo hàm của \( f(x) \) theo quy tắc đạo hàm của hàm số có căn:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3x - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (3x - x^2)
\]
\[
= \frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}} \cdot (3 - 2x)
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:
\[
\frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}} \cdot (3 - 2x) = 0
\]
\[
3 - 2x = 0
\]
\[
x = \frac{3}{2}
\]

Xác định giá trị của hàm số tại \( x = \frac{3}{2} \):
\[
f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{3 \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}
\]

4. **Tóm tắt:**

- Hàm số \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) được xác định trên miền \( [0, 3] \).
- Hàm số đạt giá trị cực đại tại \( x = \frac{3}{2} \) với \( f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \).
- Hàm số có giá trị 0 tại các điểm biên \( x = 0 \) và \( x = 3 \).

Hàm số này có dạng một parabol mở xuống nằm trên trục hoành và có giá trị cực đại tại \( x = \frac{3}{2} \) với giá trị cực đại là \( \frac{3}{2} \).