Để tìm tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập \(S\), trước hết chúng ta cần xác định tập \(S\) bằng cách phân tích điều kiện đồng biên của đa thức với hệ số \(x\) trong trường hợp này.

**Đề bài:**

Xét đa thức sau:

\[
P(x) = \frac{1}{5}m^2x^5 - \frac{1}{3}mx^3 + 10x^2 - (m^2 - m - 20)x
\]

Chúng ta cần tìm giá trị của \(m\) để đa thức \(P(x)\) đồng biên trên \(\mathbb{R}\). Đa thức đồng biên trên \(\mathbb{R}\) có nghĩa là tất cả các hệ số của các số hạng đều bằng 0.

### Phân tích điều kiện đồng biên

Đa thức \(P(x)\) đồng biên trên \(\mathbb{R}\) có nghĩa là tất cả các hệ số của nó phải bằng 0.

Cụ thể:

- Hệ số của \(x^5\) là \(\frac{1}{5}m^2\)
- Hệ số của \(x^3\) là \(-\frac{1}{3}m\)
- Hệ số của \(x^2\) là \(10\)
- Hệ số của \(x\) là \(-(m^2 - m - 20)\)

### Xét các điều kiện:

1. **Hệ số của \(x^5\) phải bằng 0:**

\[
\frac{1}{5}m^2 = 0 \implies m^2 = 0 \implies m = 0
\]

2. **Hệ số của \(x^3\) phải bằng 0:**

\[
-\frac{1}{3}m = 0 \implies m = 0
\]

3. **Hệ số của \(x^2\) phải bằng 0:**

\[
10 = 0
\]

Điều này là một mâu thuẫn vì \(10 \neq 0\). Do đó, không có giá trị của \(m\) làm cho đa thức đồng biên.

### Kết luận:

Vì không có giá trị của \(m\) làm cho đa thức đồng biên, nên tập \(S\) là rỗng.

Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \(S\) là:

\[
0
\]

Để tìm tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc tập \( S \) từ biểu thức \( f(x) = \frac{1}{5}m^2x^5 - \frac{1}{3}mx^3 + 10x^2 - (m^2 - m - 20)x \), trước hết chúng ta cần xác định phương trình này có nghiệm hay không.

Biểu thức \( f(x) \) được viết lại như sau:
\[
f(x) = \frac{1}{5}m^2x^5 - \frac{1}{3}mx^3 + (10 - (m^2 - m - 20))x^2
\]
\[
= \frac{1}{5}m^2x^5 - \frac{1}{3}mx^3 + (10 + m - m^2 + 20)x^2
\]
\[
= \frac{1}{5}m^2x^5 - \frac{1}{3}mx^3 + (-m^2 + m + 30)x^2
\]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị \( m \) để phương trình có ít nhất một nghiệm. Để làm điều này, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần thiết bằng cách phân tích phương trình đa thức này.

Biểu thức \( f(x) \) có dạng:
\[
f(x) = ax^5 + bx^3 + cx^2 + dx
\]
với \( a = \frac{1}{5}m^2 \), \( b = -\frac{1}{3}m \), \( c = 10 + m - m^2 \), và \( d = -(m^2 - m - 20) \).

Tìm tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \( S \) có thể thực hiện được nếu giải quyết nghiệm của phương trình này hoặc tìm điểm mà tổng các nghiệm của \( f(x) \) là hằng số.

### Tìm nghiệm

Để phương trình có nghiệm, ta cần tính đạo hàm của \( f(x) \) và xem sự thay đổi của nó.

1. **Đạo hàm \( f'(x) \):**
\[
f'(x) = m^2x^4 - m x^2 + 2(10 + m - m^2)x - (m^2 - m - 20)
\]
Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị của \( f(x) \).

### Tính toán Giá trị của Tập S

Nếu \( m \) được xác định cho phép nghiệm đi qua, chỉnh sửa các giá trị và tính nghiệm của \( f(x) = 0 \) thông qua tới các nghiệm bất kỳ, tổng giá trị của các nghiệm sẽ cho ra bằng \(-\frac{b}{a}\) từ định lý Viète.

- **Tính tổng nghiệm**:
\[
\text{Tổng nghiệm} = - \frac{-\frac{1}{3}m}{\frac{1}{5}m^2} = \frac{5}{3m}
\]

Như vậy, tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \( S \) sẽ phụ thuộc vào \( m \). Do đó, cho các giá trị cụ thể của \( m \), tổng sẽ được tính tương ứng.

### Kết luận:
Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc \( S \) phụ thuộc vào \( m \). Để có số cụ thể, ta cần thêm điều kiện về giá trị của \( m \), sẽ tính xét nghiệm cụ thể qua từng giai đoạn của giới hạn.