### Chứng minh \( BD = CE \)

Trong tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \), ta có thể sử dụng tính chất của phân giác và tam giác cân để chứng minh \( BD = CE \).

1. **Gọi điểm D và E** là giao điểm của các phân giác \( BD \) và \( CE \) với \( AC \) và \( AB \) tương ứng.
2. Theo định nghĩa phân giác (định lý phân giác), ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC} \quad \text{(2)}
\]

3. Do \( AB = AC \) nên \( \frac{AB}{BC} = \frac{AC}{BC} \) và từ đó ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB} \quad \text{(3)}
\]

4. Từ (1) và (2), ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Khi đó, theo tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{DC}{EB}.
\]

5. Từ thuyết tam giác, bởi vì \( D \) và \( E \) là trung điểm của các đoạn thẳng tương ứng, nên suy ra \( BD = CE \).

### Xác định dạng của \( \triangle ADE \)

Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là giao điểm của các phân giác, và \( AB = AC \) nên:

- Tam giác \( ADE \) sẽ là tam giác cân (vì \( AD = AE \)), và có cạnh đáy \( DE \).

### Chứng minh \( DE \parallel BC \)

1. **Áp dụng định lý về phân giác trong tam giác**:
- Trong tam giác \( ABC \), \( BD \) và \( CE \) là phân giác của góc \( B \) và \( C \).
- Theo tính chất của các phân giác, ta có mối liên hệ giữa các góc mà chúng tạo ra.

2. Ta thấy góc \( ADB \) và góc \( AEC \) là các góc so le trong.
\[
\angle ADB = \angle AEC \quad \text{(so le trong)}
\]

3. Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đoạn thẳng \( DE \) và \( BC \) là song song.
\[
DE \parallel BC
\]

### Kết luận

Cuối cùng, chúng ta đã chứng minh được rằng \( BD = CE \), tam giác \( ADE \) là tam giác cân và \( DE \) song song với \( BC \).

\[
\text{Tóm tắt: } BD = CE, \triangle ADE \text{ là tam giác cân và } DE \parallel BC.
\]