Để giải bài toán này, hãy phân tích và vẽ hình cho rõ ràng. Ta có tam giác \( ABC \) vuông tại \( C \).

1. **Hình vẽ**:
- Vẽ tam giác \( ABC \) với \( C \) là góc vuông (nền là \( AC \) và cạnh đứng là \( BC \)).
- Gọi \( P \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( AP = CQ \) và \( Q \) là điểm trên cạnh \( BC \).
- Nối điểm \( P \) với điểm \( Q \) qua đoạn thẳng \( PQ \).
- Vẽ đoạn thẳng \( PM \) song song với \( BC \) (tức là đường thẳng ngang) và điểm \( M \) nằm trên \( AB \).

2. **Tính chất của đoạn PM**:
- Vì \( PM \) song song với \( BC \), nên theo định lý về các đường song song (và các góc đồng dạng), ta có các tỉ lệ giữa các đoạn.

3. **Xét các tam giác**:
- \( \triangle APC \) và \( \triangle BQC \) đều vuông tại \( C \).
- Ta sử dụng tỉ lệ đồng dạng của các tam giác:
- Chiều cao từ \( P \) xuống \( AC \) sẽ tương ứng với chiều cao từ \( Q \) xuống \( BC \) và sẽ có cùng tỉ lệ vì \( P \) và \( Q \) cách đều nhau từ \( A \) và \( B \).
- Điều này cho phép chúng ta bịt kín các góc tại \( C \), dẫn đến việc sử dụng hình học phân tích (coordinate geometry) hoặc hình học phẳng để thiết lập phương trình cho các điểm và tìm vị trí của \( M \).

4. **Các tỉ lệ**:
- Giả sử \( AP = CQ = d \).
- Ta cũng có thể tính các chiều dài còn lại bằng định lý Pythagore hoặc các định lý liên quan đến tam giác vuông nếu cần thiết.

5. **Kết luận**:
- Vị trí của \( M \) có thể xác định bằng cách sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng từ \( P \) và các tính chất hình học như góc và độ dài. Vị trí của điểm \( M \) được xác định chỉ khi bạn có nhiều thông tin hơn về tọa độ cụ thể của các điểm hoặc chiều dài của các cạnh.

Nếu bạn cần tìm một giá trị cụ thể cho đoạn \( PM \) hay vị trí của \( M \), bạn sẽ cần biết thêm thông tin như chiều dài của các cạnh trong tam giác hoặc tọa độ cụ thể của các điểm. Hãy cho biết thêm thông tin để có thể hỗ trợ cụ thể hơn!