Để xác định số giá trị nguyên của \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{x-4}{x+m} \) đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần tìm điều kiện để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên các khoảng xác định.

1. **Tính đạo hàm của hàm số:**

Để làm điều này, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x-4}{x+m} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm số phân thức:

\[
y = \frac{u}{v}
\]

với \( u = x-4 \) và \( v = x+m \), ta có:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{d}{dx}(u) - u \frac{d}{dx}(v)}{v^2}
\]

Trong đó, \( \frac{d}{dx}(u) = 1 \) và \( \frac{d}{dx}(v) = 1 \). Do đó:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{(x+m) \cdot 1 - (x-4) \cdot 1}{(x+m)^2}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{x + m - x + 4}{(x+m)^2} = \frac{m + 4}{(x+m)^2}
\]

2. **Xét dấu của đạo hàm:**

Đạo hàm của hàm số là \( \frac{dy}{dx} = \frac{m + 4}{(x+m)^2} \). Ta có:

- Mẫu số \((x+m)^2\) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) (trừ điểm không xác định tại \( x = -m \)).
- Do đó, dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của \( m + 4 \).

- Nếu \( m + 4 > 0 \) (tức là \( m > -4 \)), thì \( \frac{dy}{dx} > 0 \) trên mọi khoảng xác định (trừ điểm không xác định), tức là hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
- Nếu \( m + 4 < 0 \) (tức là \( m < -4 \)), thì \( \frac{dy}{dx} < 0 \) trên mọi khoảng xác định, tức là hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

- Nếu \( m + 4 = 0 \) (tức là \( m = -4 \)), thì đạo hàm bằng 0 và hàm số là hằng số, không đồng biến hay nghịch biến trên khoảng.

3. **Kết luận:**

Hàm số \( y = \frac{x-4}{x+m} \) đồng biến trên từng khoảng xác định nếu \( m > -4 \). Vì \( m \) phải là một số nguyên, ta có các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn điều kiện này là \( m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \).

**Số lượng các giá trị nguyên của \( m \) để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định là vô hạn.**

Để hàm số \( y = \frac{x - 4}{x + m} \) đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần kiểm tra điều kiện đồng biến của hàm số này. Hàm số đồng biến nếu đạo hàm của nó dương trên tập xác định.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Ta tính đạo hàm \( y' \) của hàm số:

\[
y = \frac{x - 4}{x + m}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
y' = \frac{(x + m) \cdot 1 - (x - 4) \cdot 1}{(x + m)^2} = \frac{(x + m) - (x - 4)}{(x + m)^2} = \frac{m + 4}{(x + m)^2}
\]

### Bước 2: Xét điều kiện đồng biến

Để \( y' > 0 \), ta cần:

\[
\frac{m + 4}{(x + m)^2} > 0
\]

### Điều kiện cần có:

1. **Tử số \( m + 4 \)** phải dương:
\[
m + 4 > 0 \implies m > -4.
\]

2. **Mẫu số \( (x + m)^2 \)** luôn dương trừ khi \( x + m = 0 \), nhưng việc này phải tránh để hàm không xác định:
\[
x + m \neq 0 \implies x \neq -m.
\]

### Bước 3: Kết luận

Hàm số đồng biến trong các khoảng xác định khi:

- \( m > -4 \).

Giá trị nguyên của \( m \) thoả mãn bất đẳng thức này là:

\[
m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots
\]

### Bước 4: Đếm số lượng giá trị nguyên

Giá trị lớn nhất có thể của \( m \) không bị giới hạn, nhưng cần lưu ý rằng các giá trị nguyên phải lớn hơn \( -4 \).

Số lượng giá trị nguyên bắt đầu từ \( -3 \) trở đi:
- Từ \( -3 \) đến \( +\infty \) không giới hạn, do đó có vô số giá trị nguyên.

Vì vậy, tổng số giá trị nguyên là **vô hạn**.