Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \) khi \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \), ta tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \)

Ta biết rằng \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) tương đương với \( ad < bc \).

Xét hiệu số giữa \( \frac{a+c}{b+d} \) và \( \frac{a}{b} \):

\[
\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} = \frac{(a+c)b - a(b+d)}{b(b+d)} = \frac{ab + cb - ab - ad}{b(b+d)} = \frac{cb - ad}{b(b+d)}
\]

Vì \( ad < bc \), nên \( cb - ad > 0 \), do đó:

\[
\frac{cb - ad}{b(b+d)} > 0
\]

Suy ra \( \frac{a+c}{b+d} > \frac{a}{b} \).

### Bước 2: Chứng minh \( \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \)

Tương tự, ta xét hiệu số giữa \( \frac{c}{d} \) và \( \frac{a+c}{b+d} \):

\[
\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} = \frac{c(b+d) - d(a+c)}{d(b+d)} = \frac{cb + cd - ad - cd}{d(b+d)} = \frac{cb - ad}{d(b+d)}
\]

Vì \( cb > ad \), nên \( cb - ad > 0 \), do đó:

\[
\frac{cb - ad}{d(b+d)} > 0
\]

Suy ra \( \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \).

### Kết luận

Từ hai bước trên, ta đã chứng minh được:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}
\]

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức ban đầu đúng.

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \) thì \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \), chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về bất đẳng thức và một số phép biến đổi.

### Bước 1: Chứng minh rằng \( \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \)

Giả sử rằng \( \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \). Điều này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff ad < bc.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}.
\]

Ta quy đổi bất đẳng thức này thành:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} \iff a(b+d) < b(a+c).
\]

Mở rộng các biểu thức ở hai vế, ta có:

\[
ab + ad < ab + bc.
\]

Rút gọn hai vế, ta được:

\[
ad < bc.
\]

Điều này đúng với điều kiện giả sử ban đầu \( ad < bc \). Do đó, ta đã chứng minh được:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}.
\]

### Bước 2: Chứng minh rằng \( \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \)

Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng:

\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}.
\]

Ta quy đổi bất đẳng thức này thành:

\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d} \iff (a+c)d < c(b+d).
\]

Mở rộng các biểu thức ở hai vế, ta có:

\[
ad + cd < bc + cd.
\]

Rút gọn hai vế, ta được:

\[
ad < bc.
\]

Điều này cũng đúng với điều kiện giả sử ban đầu \( ad < bc \). Vậy ta đã chứng minh được:

\[
\frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}.
\]

### Kết luận

Từ hai bước trên, ta có:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}.
\]

Điều này hoàn thành yêu cầu chứng minh.

Để chứng minh bất đẳng thức ab<a+cb+d<cdab<a+cb+d<cd khi ab<cdab<cd, ta tiến hành theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh ab<a+cb+dab<a+cb+d

Ta biết rằng ab<cdab<cd tương đương với ad<bcad<bc.

Xét hiệu số giữa a+cb+da+cb+d và abab:

a+cb+d−ab=(a+c)b−a(b+d)b(b+d)=ab+cb−ab−adb(b+d)=cb−adb(b+d)a+cb+d−ab=(a+c)b−a(b+d)b(b+d)=ab+cb−ab−adb(b+d)=cb−adb(b+d)

Vì ad<bcad<bc, nên cb−ad>0cb−ad>0, do đó:

cb−adb(b+d)>0cb−adb(b+d)>0

Suy ra a+cb+d>aba+cb+d>ab.

### Bước 2: Chứng minh a+cb+d<cda+cb+d<cd

Tương tự, ta xét hiệu số giữa cdcd và a+cb+da+cb+d:

cd−a+cb+d=c(b+d)−d(a+c)d(b+d)=cb+cd−ad−cdd(b+d)=cb−add(b+d)cd−a+cb+d=c(b+d)−d(a+c)d(b+d)=cb+cd−ad−cdd(b+d)=cb−add(b+d)

Vì cb>adcb>ad, nên cb−ad>0cb−ad>0, do đó:

cb−add(b+d)>0cb−add(b+d)>0

Suy ra a+cb+d<cda+cb+d<cd.

### Kết luận

Từ hai bước trên, ta đã chứng minh được:

ab<a+cb+d<cdab<a+cb+d<cd

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức ban đầu đúng.