Để chứng minh bất đẳng thức

\[
(m^2 + n^2 - p^2)^2 - (2mn)^2 < 0
\]

với \(a\), \(b\), và \(c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, chúng ta sẽ sử dụng định lý lượng giác trong tam giác và một số biến đổi đại số cơ bản.

### Bước 1: Sử dụng định lý lượng giác

Trong một tam giác với các cạnh \(a\), \(b\), và \(c\), định lý lượng giác cho biết:

\[
a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C
\]

với \(C\) là góc đối diện với cạnh \(c\). Tương tự, ta có:

\[
b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A
\]
\[
c^2 + a^2 - b^2 = 2ca \cos B
\]

### Bước 2: Đặt \( m = a \), \( n = b \), và \( p = c \)

Áp dụng định lý lượng giác vào các giá trị cụ thể \(m = a\), \(n = b\), và \(p = c\), chúng ta có:

\[
a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C
\]
\[
b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A
\]
\[
c^2 + a^2 - b^2 = 2ca \cos B
\]

### Bước 3: Biến đổi bất đẳng thức

Ta cần chứng minh rằng:

\[
(m^2 + n^2 - p^2)^2 - (2mn)^2 < 0
\]

Thay \(m = a\), \(n = b\), và \(p = c\), ta có:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2
\]

Dùng định lý lượng giác:

\[
a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C
\]

Do đó:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 = (2ab \cos C)^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 = (2ab \cos C)^2 - (2ab)^2
\]

Như vậy, điều này trở thành:

\[
(2ab \cos C)^2 - (2ab)^2
\]

### Bước 4: Đơn giản hóa

Áp dụng công thức bình phương và đơn giản hóa:

\[
(2ab \cos C)^2 - (2ab)^2 = 4a^2b^2 (\cos^2 C - 1)
\]

Như chúng ta biết rằng:

\[
\cos^2 C - 1 = -\sin^2 C
\]

Vậy:

\[
4a^2b^2 (\cos^2 C - 1) = -4a^2b^2 \sin^2 C
\]

Do \(\sin^2 C\) là không âm và luôn dương trong một tam giác (ngoại trừ khi góc \(C\) là 0° hoặc 180°, nhưng trong tam giác, điều này không xảy ra), nên:

\[
-4a^2b^2 \sin^2 C < 0
\]

Vậy điều này chứng minh được:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 < 0
\]

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh đúng.

Để chứng minh bất đẳng thức \((m^2 + n^2 - p^2)^2 - (2mn)^2 < 0\), chúng ta bắt đầu từ việc nhìn nhận các biểu thức liên quan đến 3 cạnh của tam giác mà bạn đã chi định. Từ định lý của tam giác, nếu \(a, b, c\) là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chúng ta biết rằng các cạnh này phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

\[
a + b > c, \quad a + c > b, \quad b + c > a.
\]

Để đơn giản hóa và phân tích bất đẳng thức được cho, ta sẽ thay \(m, n, p\) bằng các độ dài của các cạnh tương ứng, tức là:

- \(m = a\)
- \(n = b\)
- \(p = c\)

Chúng ta cần chứng minh:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (2ab)^2 < 0.
\]

Ta có thể diễn giải bất đẳng thức này thành:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 < (2ab)^2.
\]

Lấy \((2ab)^2\) ra ngoài, ta có:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 < 4a^2b^2.
\]

Bấm mở rộng vế trái, chúng ta sẽ nhận được:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2.
\]

Để chứng minh bất đẳng thức, thay thế và sắp xếp lại theo các cạnh của tam giác nhằm mục đích kiểm tra từng thành phần. Trước hết, hãy nhận thấy rằng:

- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có \(c^2 < a^2 + b^2\).

**Phân tích bất đẳng thức:**

Ta sẽ sử dụng định lý tam giác để tiếp tục chứng minh. Nhận thấy rằng:

\[
c^2 < a^2 + b^2 \implies a^2 + b^2 - c^2 > 0.
\]

Giả sử \(x = a^2 + b^2 - c^2\), ta có:

- \(x > 0\),
- Vậy \(x^2 < 4a^2b^2\) tương đương với việc \(x < 2ab\).

Thực hiện biến đổi để chứng minh \(x < 2ab\):

1. Từ bất đẳng thức tam giác, chúng ta nhận thấy rằng tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại, nên:

\[
a + b > c \Longrightarrow a + b - c > 0.
\]

2. Kết hợp với nó sẽ vừa điều kiện \(x < 2ab\) và ta sẽ tìm thấy rằng:

Từ \(4c^2 < (a + b)^2\), kết hợp các điều kiện cho bất đẳng thức:

\[
(a + b - c)^2 > 0.
\]

### Kết luận:

Vì \(x = a^2 + b^2 - c^2 < 2ab\), nên tổng quát:

\[
(a^2 + b^2 - c^2)^2 < (2ab)^2 \implies (m^2 + n^2 - p^2)^2 - (2mn)^2 < 0.
\]

Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu cần chứng minh \( (m^2 + n^2 - p^2)^2 - (2mn)^2 < 0\).