Để tìm số tự nhiên $n$ sao cho biểu thức $A$ chia hết cho biểu thức $B$, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### a) Xét biểu thức $A = x^6y^2n - 6$ và $B = 2x^3n$

Ta cần điều kiện $A$ chia hết cho $B$, tức là:

$x^6 y^2 n - 6 \equiv 0 \quad (\text{mod } 2x^3n)$

### Bước 1: Xem xét điều kiện về $A$

Để $A$ chia hết cho $B$, ta có:

$x^6 y^2 n - 6 = k \cdot 2 x^3 n$

với một số nguyên $k$.

### Bước 2: Phân tích

Tham số $n$ trong $A$ có thể được phân tích để lựa chọn sao cho $A$ chia hết cho $B$.

Ta sẽ đang xét trường hợp khi $n = 0$:

$A = x^6y^2 \cdot 0 - 6 = -6$

Do đó,

$-6 \equiv 0 \quad (\text{mod } 2 \cdot 0) \implies \text{không xác định}$

Khi $n = 1$:

$A = x^6y^2 \cdot 1 - 6 = x^6y^2 - 6$

Xét điều kiện $x^6 y^2 - 6 \equiv 0 \quad (\text{mod } 2x^3)$:

$x^6 y^2 \equiv 6 \quad (\text{mod } 2) \implies x^6 y^2 \equiv 0 \quad (\text{mod } 2)$

Để điều này đúng, $x$ và $y$ cần phải là số chẵn.

Ta cần tiếp tục thử nghiệm với giá trị của $n$ và xét các $n$ khác cho các tích khác như $n = 2, 3, ...$.

### Bước 3: Xét $n$

Do đó, thử nghiệm nhiều giá trị của $n$ như $n = 2$, $n = 3$,... và tương tự cho các hệ số để tìm ra giá trị số nguyên thích hợp.

Kết luận cho phần a) cần nghiên cứu cụ thể và kiểm tra các giá trị khả thi cho $n$.

---

### b) Xét biểu thức $A = 20x^8y^2n + 3$, $B = 21x^8y^{3-n}$, và $C = 22^{n-1}y^2$

Tương tự, ta cần để cho biểu thức $A$ chia hết cho $B$:

1. Tìm $A \equiv 0 \quad (\text{mod } B)$:
2. Cần biểu diễn $A = 20 x^8 y^2 n + 3$.

**Những bước cụ thể:**

Cần chú ý đến từng điều kiện cho $A, B, C$ và kiểm tra xem liệu có giá trị nào của $n$ sẽ thoải mãn điều kiện $A$ chia hết cho $B$.

Như vây, để tham số $n$ tác động đến chiều dài, sẽ thử giá trị khác nhau như $n = 0, 1, 2, \ldots$ và thử nghiệm cho các $A, B$.

Cuối cùng chúng ta có thể nhận thấy các giá trị cho $n$ sẽ chiếm một vài chuỗi các giá trị nhất định.

### Kết luận

Để tìm ra các giá trị $n$ cho các điều kiện cụ thể hơn, bạn có thể kiểm tra thành phần cụ thể cho các điều kiện số học $A$ và $B$:

- Trường hợp a) và b) có thể khác nhau và cần có các giá trị thử nghiệm cụ thể để tìm ra số tự nhiên thoải mãn điều kiện chia hết.