Để phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

$\frac{x^3}{27} + \frac{x^6}{729} - x^9$

Đầu tiên, chúng ta viết lại biểu thức này:

$\frac{x^3}{27} + \frac{x^6}{729} - x^9 = \frac{x^3}{3^3} + \frac{x^6}{3^6} - x^9$

Tiếp theo, nhận ra rằng $3^3 = 27$ và $3^6 = 729$, ta có thể viết lại các phân số:

$\frac{x^3}{3^3} + \frac{x^6}{3^6} - x^9 = \frac{x^3}{3^3} + \frac{x^6}{3^6} - \frac{x^9}{1}$

Bây giờ, biểu thức này có thể được viết lại như sau:

$\left(\frac{x}{3}\right)^3 + \left(\frac{x}{3}\right)^6 - x^9$

Đặt $y = \left(\frac{x}{3}\right)$, ta có:

$y^3 + y^6 - x^9$

Tuy nhiên, $x^9$ có thể được viết lại theo $y$:

$y = \frac{x}{3} \Rightarrow x = 3y \Rightarrow x^9 = (3y)^9 = 3^9 y^9$

Chúng ta quay lại và viết lại biểu thức ban đầu:

$\left(\frac{x}{3}\right)^3 + \left(\frac{x}{3}\right)^6 - 3^9 \left(\frac{x}{3}\right)^9$

Đặt lại $y = \frac{x}{3}$:

$y^3 + y^6 - 3^9 y^9$

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích $y^3 + y^6 - 3^9 y^9$ thành nhân tử.

Nhận thấy rằng các hạng tử có $y^3$ chung, ta có thể đặt $y^3$ ra ngoài:

$y^3 (1 + y^3 - 3^9 y^6)$

Vì $1 + y^3 - 3^9 y^6$ không thể phân tích thêm một cách đơn giản, chúng ta giữ nguyên kết quả phân tích này.

Vậy, biểu thức ban đầu được phân tích thành nhân tử là:

$\frac{x^3}{27} + \frac{x^6}{729} - x^9 = \left(\frac{x}{3}\right)^3 \left(1 + \left(\frac{x}{3}\right)^3 - 3^9 \left(\frac{x}{3}\right)^6\right)$

Thay lại $y = \frac{x}{3}$, ta có:

$= \frac{x^3}{27} \left(1 + \frac{x^3}{27} - 3^9 \frac{x^6}{729}\right)$

Cuối cùng, biểu thức này không thể phân tích thêm được nữa một cách đơn giản hơn.

Để phân tích đa thức $\frac{x^3}{27} + \frac{x^6}{729} - x^9$ thành nhân tử, trước tiên, chúng ta có thể đưa các hệ số về cùng một dạng và rút gọn.

Bước 1: Gói các hệ số ra ngoài. Ta có

$\frac{x^3}{27} = \frac{x^3}{3^3} = \left(\frac{x}{3}\right)^3, \quad \frac{x^6}{729} = \frac{x^6}{9^3}=\left(\frac{x^2}{9}\right)^3 \quad và \quad x^9 = \left(x^3\right)^3$

Bước 2: Thay thế thành nhân tử:

$x^9 = (x^3)^3,$

Như vậy chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau:

$\frac{x^3}{27} + \frac{x^6}{729} - x^9 = \left(\frac{x^3}{27}\right) + \left(\frac{x^2}{9}\right)^3 - (x^3)^3.$

Bước 3: Chuyển biểu thức về dạng tổng - hiệu của các lập phương:

$= \left(\frac{x^3}{3^3}\right) + \left(\frac{x^2}{9}\right)^3 - (x^3)^3.$

Bước 4: UPT (công thức lập phương):

Áp dụng công thức $a^3 + b^3 - c^3 = (a + b - c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$ với các giá trị $a = \frac{x^3}{27}, b = \frac{x^6}{729}, c = x^9$.

Tính $a + b - c$:

Tuy nhiên, phương pháp này có vẻ không khả thi, vì vậy cách đơn giản hơn là nhóm lại các yếu tố trong biểu thức:

Bước 5: Thay thế công thức và rút gọn:

$= \frac{x^3}{27}(1 + \frac{x^3}{27} - 27x^6)$

Nhưng hình như phương pháp này không về dạng nhân tử rõ ràng, sau khi rút gọn. Chúng ta có thể tiếp tục bằng cách nhóm theo cách khác:

**Tìm nhân tử chung:**
Rút nhân tử $\frac{x^3}{27}$:

$= \frac{x^3}{27} \left( 1 + \frac{x^3}{27} \cdot \frac{27}{27} - 27x^6 \cdot \frac{729}{729} \right)$

Cuối cùng là cần thêm chỉ số mũ và biếu thức cụ thể hơn; nhưng biểu thức trên cùng là dạng nhân tử, bạn có thể nhóm lại cho rõ ràng hơn:

$= \frac{x^3}{27} \left( 1 + \frac{x^3}{27} - 27x^6 \right),$

và cố gắng đơn giản hoá thêm để cho ra:

=> Các dạng như $\frac{x^3}{27} = A$, ... bạn có thể đạt ra.

Bước 6: Kết quả tối ưu.

Cuối cùng: Không thể phân tích sâu hơn trong khoảng thời gian giới hạn và ngữ cảnh cho đặt công thức cụ thể, bạn có thể ứng dụng thêm với:

$= \frac{x^3}{27} \cdot (squared) + constant$

Câu trả lời cuối cùng của bạn sẽ là tóm vượt qua các hàng từ $x$ đến $27x^6, 9, ..$.