Để thực hiện phép tính sau:

$\frac{x + \frac{1}{2x} - 2}{\frac{-2x}{x^2} - 2}$

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đơn giản hóa các phân số trong tử và mẫu số**.

2. **Đưa các phân số về cùng mẫu số**.

3. **Thực hiện các phép cộng trừ các phân số**.

4. **Đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất**.

Bắt đầu với tử số:

$x + \frac{1}{2x} - 2$

Đưa các hạng tử về cùng mẫu số (ở đây là $2x$):

$\frac{2x^2}{2x} + \frac{1}{2x} - \frac{4x}{2x} = \frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x}$

Tiếp theo là mẫu số:

$\frac{-2x}{x^2} - 2 = \frac{-2x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} = \frac{-2x - 2x^2}{x^2} = \frac{-2x(1 + x)}{x^2}$

Thay vào phương trình ban đầu:

$\frac{\frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x}}{\frac{-2x(1 + x)}{x^2}}$

Chuyển phép chia phân số thành phép nhân với phân số nghịch đảo:

$\frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x} \cdot \frac{x^2}{-2x(1 + x)} = \frac{(2x^2 + 1 - 4x) \cdot x^2}{2x \cdot -2x(1 + x)} = \frac{(2x^2 + 1 - 4x) \cdot x^2}{-4x^2(1 + x)}$

Ta có thể rút gọn $x^2$ ở tử và mẫu:

$\frac{2x^2 + 1 - 4x}{-4(1 + x)}$

Đây là biểu thức đơn giản nhất cho phép tính đã cho.

Để giải biểu thức

$\frac{x + 1}{2x - 2} + \frac{-2x}{x^2 - 2},$

trước tiên, ta sẽ rút gọn các phân thức.

### Bước 1: Rút gọn từng phân thức

**Tương tự phân thức đầu tiên:**

$2x - 2 = 2(x - 1),$

vậy phân thức đầu tiên có thể viết lại là:

$\frac{x + 1}{2(x - 1)}.$

**Tương tự phân thức thứ hai:**

$x^2 - 2$

không có dạng nguyên tử như trên, nhưng ta để nguyên.

### Bước 2: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của cả hai phân thức là $2(x - 1)(x^2 - 2)$.

### Bước 3: Chuyển đổi về mẫu số chung

**Chuyển đổi phân thức đầu tiên:**

$\frac{x + 1}{2(x - 1)} \cdot \frac{x^2 - 2}{x^2 - 2} = \frac{(x + 1)(x^2 - 2)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.$

**Chuyển đổi phân thức thứ hai:**

$\frac{-2x}{x^2 - 2} \cdot \frac{2(x - 1)}{2(x - 1)} = \frac{-2x \cdot 2(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)} = \frac{-4x(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.$

### Bước 4: Cộng hai phân thức lại với nhau

Bây giờ ta có:

$\frac{(x + 1)(x^2 - 2) - 4x(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.$

### Bước 5: Rút gọn tử

Giờ ta cần rút gọn tử số:

$(x + 1)(x^2 - 2) - 4x(x - 1).$

Mở rộng tử số:

1. Tính $(x + 1)(x^2 - 2)$:

$= x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2.$

2. Tính $-4x(x - 1)$:

$= -4x^2 + 4x.$

3. Cộng hai kết quả lại:

$x^3 + x^2 - 2x - 2 - 4x^2 + 4x = x^3 + (1 - 4)x^2 + (-2 + 4)x - 2 = x^3 - 3x^2 + 2x - 2.$

### Bước 6: Kết quả cuối cùng

Ta được biểu thức:

$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.$

Từ đây, chúng ta có thể kiểm tra xem tử số có thể phân tích tiếp hay không.

### Phân tích tử số

Ta sẽ thử phân tích số $x^3 - 3x^2 + 2x - 2$. Ta có thể thử thế các giá trị để tìm nghiệm hoặc tìm cách phân tích.

### Kết luận:

Biểu thức cuối cùng sau khi rút gọn là:

$\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.$