Để thực hiện phép tính sau:

\[
\frac{x + \frac{1}{2x} - 2}{\frac{-2x}{x^2} - 2}
\]

Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đơn giản hóa các phân số trong tử và mẫu số**.

2. **Đưa các phân số về cùng mẫu số**.

3. **Thực hiện các phép cộng trừ các phân số**.

4. **Đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất**.

Bắt đầu với tử số:

\[
x + \frac{1}{2x} - 2
\]

Đưa các hạng tử về cùng mẫu số (ở đây là \(2x\)):

\[
\frac{2x^2}{2x} + \frac{1}{2x} - \frac{4x}{2x} = \frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x}
\]

Tiếp theo là mẫu số:

\[
\frac{-2x}{x^2} - 2 = \frac{-2x}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} = \frac{-2x - 2x^2}{x^2} = \frac{-2x(1 + x)}{x^2}
\]

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
\frac{\frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x}}{\frac{-2x(1 + x)}{x^2}}
\]

Chuyển phép chia phân số thành phép nhân với phân số nghịch đảo:

\[
\frac{2x^2 + 1 - 4x}{2x} \cdot \frac{x^2}{-2x(1 + x)} = \frac{(2x^2 + 1 - 4x) \cdot x^2}{2x \cdot -2x(1 + x)} = \frac{(2x^2 + 1 - 4x) \cdot x^2}{-4x^2(1 + x)}
\]

Ta có thể rút gọn \(x^2\) ở tử và mẫu:

\[
\frac{2x^2 + 1 - 4x}{-4(1 + x)}
\]

Đây là biểu thức đơn giản nhất cho phép tính đã cho.

Để giải biểu thức

\[
\frac{x + 1}{2x - 2} + \frac{-2x}{x^2 - 2},
\]

trước tiên, ta sẽ rút gọn các phân thức.

### Bước 1: Rút gọn từng phân thức

**Tương tự phân thức đầu tiên:**

\[
2x - 2 = 2(x - 1),
\]

vậy phân thức đầu tiên có thể viết lại là:

\[
\frac{x + 1}{2(x - 1)}.
\]

**Tương tự phân thức thứ hai:**

\[
x^2 - 2
\]

không có dạng nguyên tử như trên, nhưng ta để nguyên.

### Bước 2: Tìm mẫu số chung

Mẫu số chung của cả hai phân thức là \(2(x - 1)(x^2 - 2)\).

### Bước 3: Chuyển đổi về mẫu số chung

**Chuyển đổi phân thức đầu tiên:**

\[
\frac{x + 1}{2(x - 1)} \cdot \frac{x^2 - 2}{x^2 - 2} = \frac{(x + 1)(x^2 - 2)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.
\]

**Chuyển đổi phân thức thứ hai:**

\[
\frac{-2x}{x^2 - 2} \cdot \frac{2(x - 1)}{2(x - 1)} = \frac{-2x \cdot 2(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)} = \frac{-4x(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.
\]

### Bước 4: Cộng hai phân thức lại với nhau

Bây giờ ta có:

\[
\frac{(x + 1)(x^2 - 2) - 4x(x - 1)}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.
\]

### Bước 5: Rút gọn tử

Giờ ta cần rút gọn tử số:

\[
(x + 1)(x^2 - 2) - 4x(x - 1).
\]

Mở rộng tử số:

1. Tính \( (x + 1)(x^2 - 2) \):

\[
= x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2.
\]

2. Tính \( -4x(x - 1) \):

\[
= -4x^2 + 4x.
\]

3. Cộng hai kết quả lại:

\[
x^3 + x^2 - 2x - 2 - 4x^2 + 4x = x^3 + (1 - 4)x^2 + (-2 + 4)x - 2 = x^3 - 3x^2 + 2x - 2.
\]

### Bước 6: Kết quả cuối cùng

Ta được biểu thức:

\[
\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.
\]

Từ đây, chúng ta có thể kiểm tra xem tử số có thể phân tích tiếp hay không.

### Phân tích tử số

Ta sẽ thử phân tích số \( x^3 - 3x^2 + 2x - 2 \). Ta có thể thử thế các giá trị để tìm nghiệm hoặc tìm cách phân tích.

### Kết luận:

Biểu thức cuối cùng sau khi rút gọn là:

\[
\frac{x^3 - 3x^2 + 2x - 2}{2(x - 1)(x^2 - 2)}.
\]