Để giải phương trình lượng giác \(\sin a \cdot (2 \cos 4a + 2 \cos 2a + 1) = \sin 5a\), chúng ta tiến hành các bước như sau:

1. **Viết lại phương trình cho rõ ràng:**
\[
\sin a \cdot (2 \cos 4a + 2 \cos 2a + 1) = \sin 5a
\]

2. **Sử dụng các công thức lượng giác:**
Ta có công thức:
\[
\cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1
\]

3. **Thay \(\cos 4a\) vào phương trình:**
\[
2 \cos 4a + 2 \cos 2a + 1 = 2 (2 \cos^2 2a - 1) + 2 \cos 2a + 1
\]

4. **Đơn giản hóa biểu thức:**
\[
2 (2 \cos^2 2a - 1) + 2 \cos 2a + 1 = 4 \cos^2 2a - 2 + 2 \cos 2a + 1
\]
\[
= 4 \cos^2 2a + 2 \cos 2a - 1
\]

5. **Viết lại phương trình ban đầu:**
Thay biểu thức trên vào phương trình ban đầu:
\[
\sin a \cdot (4 \cos^2 2a + 2 \cos 2a - 1) = \sin 5a
\]

6. **Xét các giá trị đặc biệt của \(a\):**
Thử \(a = 0\):
\[
\sin(0) \cdot (4 \cos^2(0) + 2 \cos(0) - 1) = \sin(5 \cdot 0)
\]
\[
0 \cdot (4 \cdos(0)^2 + 2 \cdos(0) - 1) = 0
\]
Biểu thức này đúng vì 0 = 0.

Thử \(a = \pi\):
\[
\sin(\pi) \cdot (4 \cos^2(2\pi) + 2 \cos(2\pi) - 1) = \sin(5 \pi)
\]
Vì \(\sin(\pi) = 0\) và \(\sin(5\pi) = 0\), phương trình này cũng đúng.

Thử \(a = \frac{\pi}{2}\):
\[
\sin(\frac{\pi}{2}) \cdot (4 \cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - 1) = \sin(5 \cdot \frac{\pi}{2})
\]
Điều này đơn giản hóa thành:
\[
1 \cdot (4 \cos^2(\pi) + 2 \cos(\pi) - 1) = \sin(\frac{5\pi}{2})
\]
Điều này rút gọn thành:
\[
1 \cdot (4 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 1) = 1
\]
Vì \(\cos(\pi) = -1\), ta có:
\[
4 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) - 1 = 4 - 2 - 1 = 1
\]
Điều này đúng vì 1 = 1.

Vì vậy, \(a = n\pi\) với \(n\) là số nguyên, là nghiệm của phương trình lượng giác đã cho.

Để giải phương trình lượng giác sina⋅(2cos4a+2cos2a+1)=sin5asin⁡a⋅(2cos⁡4a+2cos⁡2a+1)=sin⁡5a, chúng ta tiến hành các bước như sau:

1. **Viết lại phương trình cho rõ ràng:**
sina⋅(2cos4a+2cos2a+1)=sin5asin⁡a⋅(2cos⁡4a+2cos⁡2a+1)=sin⁡5a

2. **Sử dụng các công thức lượng giác:**
Ta có công thức:
cos4a=2cos22a−1cos⁡4a=2cos2⁡2a−1

3. **Thay cos4acos⁡4a vào phương trình:**
2cos4a+2cos2a+1=2(2cos22a−1)+2cos2a+12cos⁡4a+2cos⁡2a+1=2(2cos2⁡2a−1)+2cos⁡2a+1

4. **Đơn giản hóa biểu thức:**
2(2cos22a−1)+2cos2a+1=4cos22a−2+2cos2a+12(2cos2⁡2a−1)+2cos⁡2a+1=4cos2⁡2a−2+2cos⁡2a+1
=4cos22a+2cos2a−1=4cos2⁡2a+2cos⁡2a−1

5. **Viết lại phương trình ban đầu:**
Thay biểu thức trên vào phương trình ban đầu:
sina⋅(4cos22a+2cos2a−1)=sin5asin⁡a⋅(4cos2⁡2a+2cos⁡2a−1)=sin⁡5a

6. **Xét các giá trị đặc biệt của aa:**
Thử a=0a=0:
sin(0)⋅(4cos2(0)+2cos(0)−1)=sin(5⋅0)sin⁡(0)⋅(4cos2⁡(0)+2cos⁡(0)−1)=sin⁡(5⋅0)
0⋅(4\cdos(0)2+2\cdos(0)−1)=00⋅(4\cdos(0)2+2\cdos(0)−1)=0
Biểu thức này đúng vì 0 = 0.

Thử a=πa=π:
sin(π)⋅(4cos2(2π)+2cos(2π)−1)=sin(5π)sin⁡(π)⋅(4cos2⁡(2π)+2cos⁡(2π)−1)=sin⁡(5π)
Vì sin(π)=0sin⁡(π)=0 và sin(5π)=0sin⁡(5π)=0, phương trình này cũng đúng.

Thử a=π2a=π2:
sin(π2)⋅(4cos2(2⋅π2)+2cos(2⋅π2)−1)=sin(5⋅π2)sin⁡(π2)⋅(4cos2⁡(2⋅π2)+2cos⁡(2⋅π2)−1)=sin⁡(5⋅π2)
Điều này đơn giản hóa thành:
1⋅(4cos2(π)+2cos(π)−1)=sin(5π2)1⋅(4cos2⁡(π)+2cos⁡(π)−1)=sin⁡(5π2)
Điều này rút gọn thành:
1⋅(4⋅1+2⋅(−1)−1)=11⋅(4⋅1+2⋅(−1)−1)=1
Vì cos(π)=−1cos⁡(π)=−1, ta có:
4⋅1+2⋅(−1)−1=4−2−1=14⋅1+2⋅(−1)−1=4−2−1=1
Điều này đúng vì 1 = 1.

Vì vậy, a=nπa=nπ với nn là số nguyên, là nghiệm của phương trình lượng giác đã cho.