Để xác định tập hợp tất cả các giá trị nguyên của \( m \) sao cho hàm số \( y = \frac{mx - 2m + 3}{x + m} \) nghịch biến trên khoảng \( x > 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### 1. **Tính đạo hàm của hàm số**

Để hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \( x > 2 \), đạo hàm của hàm số phải nhỏ hơn 0 trên khoảng đó.

Hàm số \( y \) là:

\[
y = \frac{mx - 2m + 3}{x + m}
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số \( u(x) \) và \( v(x) \):

\[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Trong đó:
- \( u(x) = mx - 2m + 3 \)
- \( v(x) = x + m \)

Ta tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \):

\[
u'(x) = m
\]
\[
v'(x) = 1
\]

Áp dụng vào công thức:

\[
y' = \frac{m(x + m) - (mx - 2m + 3)}{(x + m)^2}
\]

\[
y' = \frac{mx + m^2 - mx + 2m - 3}{(x + m)^2}
\]

\[
y' = \frac{m^2 + 2m - 3}{(x + m)^2}
\]

### 2. **Xác định điều kiện để hàm số nghịch biến**

Để hàm số \( y \) nghịch biến trên khoảng \( x > 2 \), đạo hàm \( y' \) phải nhỏ hơn 0 trên khoảng này:

\[
\frac{m^2 + 2m - 3}{(x + m)^2} < 0
\]

Vì mẫu số \( (x + m)^2 \) luôn dương, ta chỉ cần xét tử số:

\[
m^2 + 2m - 3 < 0
\]

### 3. **Giải bất phương trình bậc hai**

Giải phương trình bậc hai:

\[
m^2 + 2m - 3 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = 2 \), và \( c = -3 \):

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
\]

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}
\]

\[
m = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

\[
m = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-2 - 4}{2} = -3
\]

Vậy, phương trình \( m^2 + 2m - 3 = 0 \) có nghiệm là \( m = 1 \) và \( m = -3 \).

### 4. **Tìm khoảng nghiệm của bất phương trình**

Bất phương trình \( m^2 + 2m - 3 < 0 \) có nghiệm trong khoảng \( -3 < m < 1 \).

### 5. **Tìm các giá trị nguyên của \( m \)**

Các giá trị nguyên trong khoảng \( -3 < m < 1 \) là \( -2 \), \( -1 \), và \( 0 \).

### 6. **Kết luận**

Số phần tử của tập hợp \( S \) là 3.

Do đó, số phần tử của \( S \) là \( \boxed{3} \).