Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a. Thu gọn và sắp xếp đa thức \( f(x) \)

Đa thức \( f(x) \) được cho là:
\[ f(x) = x^6 - 5x^2 - 2x^4 + 3 + 3x^4 - x^6 + 3x \]

**1. Gộp các hạng tử đồng nhất:**

- Hạng tử \( x^6 \) và \( -x^6 \) cộng lại: \( x^6 - x^6 = 0 \)
- Hạng tử \( -2x^4 \) và \( 3x^4 \) cộng lại: \( -2x^4 + 3x^4 = x^4 \)
- Hạng tử \( -5x^2 \) không có hạng tử đồng nhất
- Hạng tử \( 3x \) không có hạng tử đồng nhất
- Hạng tử \( 3 \) không có hạng tử đồng nhất

**2. Viết lại đa thức sau khi gộp:**

\[ f(x) = 0x^6 + x^4 - 5x^2 + 3x + 3 \]

**3. Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến:**

\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 3x + 3 \]

### b. Xác định bậc, hệ số cao nhất, và hệ số tự do của đa thức

- **Bậc của đa thức:** Bậc của đa thức là lũy thừa cao nhất của biến \( x \) trong đa thức. Trong trường hợp này, bậc là \( 4 \) (do \( x^4 \)).

- **Hệ số cao nhất:** Hệ số cao nhất là hệ số của \( x^4 \). Trong đa thức này, hệ số của \( x^4 \) là \( 1 \).

- **Hệ số tự do:** Hệ số tự do là hạng tử không chứa \( x \), tức là hạng tử độc lập với \( x \). Trong đa thức này, hệ số tự do là \( 3 \).

### c. Tìm nghiệm của đa thức \( Q(x) = f(x) + 5x^2 - 4x^4 \)

**1. Viết lại đa thức \( Q(x) \):**

Ta đã có:
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 3x + 3 \]

Thay vào \( Q(x) \):

\[ Q(x) = f(x) + 5x^2 - 4x^4 \]

**2. Thay \( f(x) \) vào \( Q(x) \):**

\[ Q(x) = (x^4 - 5x^2 + 3x + 3) + 5x^2 - 4x^4 \]

**3. Gộp các hạng tử đồng nhất:**

- \( x^4 - 4x^4 = -3x^4 \)
- \( -5x^2 + 5x^2 = 0 \)
- \( 3x \) không có hạng tử đồng nhất
- \( 3 \) không có hạng tử đồng nhất

**4. Viết lại đa thức sau khi gộp:**

\[ Q(x) = -3x^4 + 3x + 3 \]

**5. Tìm nghiệm của đa thức \( Q(x) \):**

Để tìm nghiệm của đa thức \( -3x^4 + 3x + 3 \), ta sẽ giải phương trình:

\[ -3x^4 + 3x + 3 = 0 \]

Để giải phương trình này, chúng ta có thể thử một số giá trị thực tiềm năng (như \( x = 0, \pm 1 \)) hoặc sử dụng các phương pháp số học hoặc máy tính.

**Kiểm tra một số nghiệm đơn giản:**

- **Khi \( x = 0 \):**

\[ -3(0)^4 + 3(0) + 3 = 3 \neq 0 \]

Do đó, \( x = 0 \) không phải là nghiệm.

- **Khi \( x = 1 \):**

\[ -3(1)^4 + 3(1) + 3 = -3 + 3 + 3 = 3 \neq 0 \]

Do đó, \( x = 1 \) không phải là nghiệm.

- **Khi \( x = -1 \):**

\[ -3(-1)^4 + 3(-1) + 3 = -3 - 3 + 3 = -3 \neq 0 \]

Do đó, \( x = -1 \) không phải là nghiệm.

Do phương trình bậc 4 không dễ giải bằng tay, chúng ta có thể dùng phần mềm hoặc phương pháp số để tìm nghiệm chính xác. Nếu cần, hãy sử dụng phần mềm đại số để tìm nghiệm cụ thể của phương trình \( -3x^4 + 3x + 3 = 0 \).

Ta sẽ thực hiện các yêu cầu về đa thức \( f(x) = x^6 - 5x^2 - 2x^4 + 3 + 3x^4 - x^6 + 3x \).

### a. Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
Đầu tiên, ta thu gọn các hạng tử của đa thức:

\[
f(x) = (x^6 - x^6) + (-2x^4 + 3x^4) - 5x^2 + 3x + 3
\]

\[
= 0 + x^4 - 5x^2 + 3x + 3
\]

Vì vậy, đa thức \( f(x) \) sau khi thu gọn trở thành:

\[
f(x) = x^4 - 5x^2 + 3x + 3
\]

Tiếp theo, sắp xếp theo lũy thừa giảm dần:

\[
f(x) = x^4 + 3x - 5x^2 + 3
\]

Cuối cùng, sắp xếp lại cho đúng thứ tự:

\[
f(x) = x^4 - 5x^2 + 3x + 3
\]

### b. Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do
1. **Bậc của đa thức**: Đây là hệ số của hạng tử có lũy thừa cao nhất, là \( x^4 \) → bậc là \( 4 \).
2. **Hệ số cao nhất**: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất, trong trường hợp này là \( 1 \) (hệ số của \( x^4 \)).
3. **Hệ số tự do**: Là hệ số không kèm biến, ở đây là \( 3 \).

Tóm lại:
- Bậc: \( 4 \)
- Hệ số cao nhất: \( 1 \)
- Hệ số tự do: \( 3 \)

### c. Tìm nghiệm của đa thức \( Q(x) = f(x) + 5x^2 - 4x^4 \)

Đầu tiên, chúng ta tính \( Q(x) \):

\[
Q(x) = (x^4 - 5x^2 + 3x + 3) + 5x^2 - 4x^4
\]

Kết hợp lại:

\[
= x^4 - 4x^4 - 5x^2 + 5x^2 + 3x + 3
\]

\[
= -3x^4 + 3x + 3
\]

Bây giờ, chúng ta đặt \( Q(x) = -3x^4 + 3x + 3 \) và tìm nghiệm. Để tìm nghiệm, ta tìm nghiệm của phương trình:

\[
-3x^4 + 3x + 3 = 0
\]

Chia toàn bộ phương trình cho -3 để đơn giản:

\[
x^4 - x - 1 = 0
\]

Phương trình này có thể không dễ giải bằng cách phân tích, nhưng có thể sử dụng phương pháp số học hoặc công cụ tính toán để tìm nghiệm.

Có thể kiểm tra nghiệm bằng cách thay các giá trị vào biểu thức (ví dụ, \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \)) hoặc sử dụng các phương pháp như Newton-Raphson để tìm nghiệm gần đúng.

#### Nghiệm thực tế
Việc tìm nghiệm có thể cho ra các giá trị như:
- \( x \approx 1.3247 \) (một nghiệm gần đúng).
- Các nghiệm còn lại có thể được tìm qua số phức hoặc các phương pháp số khác.

Tóm lại, \( Q(x) = x^4 - x - 1 = 0 \) có thể giải bằng các phương pháp số học hoặc công cụ tính toán.