Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, ta sẽ áp dụng các kỹ thuật trong lượng giác và đại số.

### a) Biểu thức \( D = (|x| + 2)^2 \)

**Giải thích:**

Biểu thức \( D = (|x| + 2)^2 \) bao gồm một bình phương. Bình phương của một số luôn không âm, vì vậy giá trị của \( (|x| + 2)^2 \) là không nhỏ hơn giá trị của \( |x| + 2 \) bình phương.

1. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( |x| + 2 \):**

\( |x| \) là giá trị tuyệt đối của \( x \), luôn không âm. Giá trị nhỏ nhất của \( |x| \) là 0, khi \( x = 0 \).

2. **Khi \( |x| = 0 \), giá trị của \( |x| + 2 = 0 + 2 = 2 \).**

3. **Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( (|x| + 2)^2 \) là \( 2^2 = 4 \).**

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D = (|x| + 2)^2 \) là \( 4 \).

### b) Biểu thức \( F = (|x - 1|)^2 + (|y + 2|)^2 \)

**Giải thích:**

Biểu thức \( F = (|x - 1|)^2 + (|y + 2|)^2 \) là tổng của hai bình phương, mỗi bình phương luôn không âm. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của từng bình phương.

1. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( (|x - 1|)^2 \):**

\( |x - 1| \) là giá trị tuyệt đối của \( x - 1 \). Giá trị nhỏ nhất của \( |x - 1| \) là 0, khi \( x = 1 \).

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất của \( (|y + 2|)^2 \):**

\( |y + 2| \) là giá trị tuyệt đối của \( y + 2 \). Giá trị nhỏ nhất của \( |y + 2| \) là 0, khi \( y = -2 \).

3. **Khi \( x = 1 \) và \( y = -2 \), ta có:**

\[
(|x - 1|)^2 = (|1 - 1|)^2 = 0^2 = 0
\]
\[
(|y + 2|)^2 = (|-2 + 2|)^2 = 0^2 = 0
\]

4. **Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( F \) là:**

\[
F = 0 + 0 = 0
\]

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = (|x - 1|)^2 + (|y + 2|)^2 \) là \( 0 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### Biểu thức a: \( D = (x + 2)^2 \)

Biểu thức \( D \) là một bình phương, tức là \( (x + 2)^2 \). Bình phương luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) với mọi giá trị của \( x \).

- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức này xảy ra khi \( (x + 2)^2 = 0 \).
- Điều này xảy ra khi \( x + 2 = 0 \) hay \( x = -2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( D \) là:
\[
D_{\text{min}} = 0.
\]

### Biểu thức b: \( F = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \)

Biểu thức \( F \) bao gồm hai bình phương. Cả hai bình phương đều không âm.

- \( (x - 1)^2 \geq 0 \) và \( (y + 2)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( F \) sẽ đạt được khi cả hai bình phương đều bằng 0.

Để có được điều này, chúng ta cần:
1. \( (x - 1)^2 = 0 \) → \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \).
2. \( (y + 2)^2 = 0 \) → \( y + 2 = 0 \) → \( y = -2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( F \) là:
\[
F_{\text{min}} = 0 + 0 = 0.
\]

### Kết luận

- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( D = (x + 2)^2 \) là \( 0 \) khi \( x = -2 \).
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( F = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 \) là \( 0 \) khi \( x = 1 \) và \( y = -2 \).