Để giải bài toán, chúng ta cần tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 + (1 + m^2)x + 1 \) trên đoạn \([0, 1]\) không vượt quá 7.

### Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn \([0, 1]\)

1. **Tại \( x = 0 \):**
\[
f(0) = 0^3 + (1 + m^2) \cdot 0 + 1 = 1
\]

2. **Tại \( x = 1 \):**
\[
f(1) = 1^3 + (1 + m^2) \cdot 1 + 1 = 1 + 1 + m^2 + 1 = m^2 + 3
\]

### Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([0, 1]\)

Hàm số \( f(x) = x^3 + (1 + m^2)x + 1 \) là hàm số liên tục và khả vi trên \([0, 1]\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này có thể xảy ra tại các điểm biên và các điểm mà đạo hàm của hàm số bằng 0.

Tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3x^2 + 1 + m^2
\]

Đạo hàm \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm thực vì \( 3x^2 + 1 + m^2 \geq 1 + m^2 \geq 1 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \). Do đó, giá trị lớn nhất trên đoạn \([0, 1]\) xảy ra tại các điểm biên \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \).

### Bước 3: Xác định điều kiện để giá trị lớn nhất không vượt quá 7

Từ các giá trị đã tính, ta có:
\[
f(0) = 1
\]
\[
f(1) = m^2 + 3
\]

Điều kiện để giá trị lớn nhất không vượt quá 7 là:
\[
m^2 + 3 \leq 7
\]

Giải bất phương trình:
\[
m^2 + 3 \leq 7
\]
\[
m^2 \leq 4
\]

\[
|m| \leq 2
\]

Do đó, giá trị nguyên của \( m \) phải thỏa mãn:
\[
-2 \leq m \leq 2
\]

### Bước 4: Đếm số lượng giá trị nguyên

Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng từ -2 đến 2 là: \(-2, -1, 0, 1, 2\). Tổng cộng có 5 giá trị.

### Kết luận

Tập \( S \) có 5 phần tử.

Để tìm tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \( m \) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = x^3 + (1 + m^2)x + 1 \) trên đoạn \([0, 1]\) không vượt quá 7, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính giá trị của hàm tại các đầu đoạn**:
- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 0^3 + (1 + m^2) \cdot 0 + 1 = 1
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^3 + (1 + m^2) \cdot 1 + 1 = 1 + (1 + m^2) + 1 = 2 + m^2
\]

2. **Tìm giá trị tối đa trên đoạn \([0, 1]\)**:
Để tìm giá trị cực trị của hàm số trong đoạn này, ta tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3x^2 + (1 + m^2)
\]
Hàm \( f'(x) \) không có nghiệm vì \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), và \( (1 + m^2) > 0 \) với mọi \( m \). Do đó, hàm \( f(x) \) là tăng trên đoạn \([0, 1]\).

3. **So sánh các giá trị tại các đầu đoạn**:
- Do hàm số là tăng, giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, 1]\) là \( f(1) = 2 + m^2 \).
- Để đảm bảo rằng giá trị lớn nhất không vượt quá 7, ta có:
\[
2 + m^2 \leq 7
\]
- Giải bất phương trình:
\[
m^2 \leq 5 \implies -\sqrt{5} \leq m \leq \sqrt{5}
\]

4. **Tìm các giá trị nguyên trong khoảng \([-2, 2]\)**:
- Các giá trị nguyên trong khoảng \([-2, 2]\) là: \(-2, -1, 0, 1, 2\).
- Tổng cộng có 5 giá trị.

Do đó, tập \( S \) có **5 phần tử** là số nguyên.