Chúng ta sẽ thực hiện các yêu cầu theo thứ tự:

### a) Thu gọn đa thức \(A\) và xác định bậc của đa thức

Đa thức đã cho:
\[
A = 5xy^2 + xy - xy^2 - \frac{1}{3}x^2y + 2xy + x^2y + xy + 6
\]

Bước 1: Gom các hạng tử giống nhau lại với nhau.
\[
A = (5xy^2 - xy^2) + xy + 2xy + xy + (-\frac{1}{3}x^2y + x^2y) + 6
\]

Bước 2: Thu gọn các hạng tử:
\[
A = (5xy^2 - xy^2) + (xy + 2xy + xy) + (-\frac{1}{3}x^2y + x^2y) + 6
\]
\[
A = 4xy^2 + 4xy + \left(\frac{2}{3}x^2y\right) + 6
\]

Vậy, đa thức \(A\) sau khi được thu gọn là:
\[
A = 4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6
\]

Bậc của đa thức \(A\) là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Hạng tử có bậc cao nhất là \(\frac{2}{3}x^2y\) có bậc là \(2 + 1 = 3\).

Vậy bậc của đa thức \(A\) là 3.

### b) Tìm đa thức \(B\) sao cho \(A + B = 0\)

Để \(A + B = 0\), ta cần \(B\) là đa thức đối của \(A\), tức là \(B\) bằng \(-A\).

Vậy \(B = -A = - (4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6)\).

Đa thức \(B\) là:
\[
B = -4xy^2 - 4xy - \frac{2}{3}x^2y - 6
\]

### c) Tìm đa thức \(C\) sao cho \(A + C = -2xy + 1\)

Ta có phương trình:
\[
A + C = -2xy + 1
\]

Thay \(A\) vào phương trình trên:
\[
4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6 + C = -2xy + 1
\]

Giải phương trình để tìm \(C\):
\[
C = -2xy + 1 - (4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6)
\]
\[
C = -4xy^2 - \frac{2}{3}x^2y - 4xy - 2xy + 1 - 6
\]
\[
C = -4xy^2 - \frac{2}{3}x^2y - 6xy - 5
\]

Vậy đa thức \(C\) là:
\[
C = -4xy^2 - \frac{2}{3}x^2y - 6xy - 5
\]

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Thu gọn đa thức A và xác định bậc

Đa thức A được cho là:
\[ A = 5xy^2 + xy - xy^2 - \frac{1}{3}x^2y + 2xy + x^2y + xy + 6 \]

Bước 1: Gộp các hạng tử tương tự lại với nhau:

- Hạng tử chứa \(xy^2\):
\[ 5xy^2 - xy^2 = 4xy^2 \]

- Hạng tử chứa \(xy\):
\[ xy + 2xy + xy = 4xy \]

- Hạng tử chứa \(x^2y\):
\[ -\frac{1}{3}x^2y + x^2y = \left(1 - \frac{1}{3}\right)x^2y = \frac{2}{3}x^2y \]

- Hạng tử tự do:
\( 6 \)

Ghép lại, ta có:
\[ A = 4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6 \]

Bước 2: Xác định bậc của đa thức A.

- Các biến trong đa thức là \(x\) và \(y\).
- Bậc của các hạng tử:
- \(4xy^2\): bậc \(3\) (1 + 2)
- \(4xy\): bậc \(2\) (1 + 1)
- \(\frac{2}{3}x^2y\): bậc \(3\) (2 + 1)
- \(6\): bậc \(0\)

Từ đó, bậc lớn nhất là \(3\).
**Điểm kết:**
- Đa thức đã thu gọn:
\[ A = 4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6 \]
- Bậc của đa thức A là \(3\).

### b) Tìm đa thức B sao cho \( A + B = 0 \)

Để tìm đa thức B sao cho \( A + B = 0 \), ta có:
\[ B = -A \]

Do đó, ta chỉ cần lấy dấu âm của từng hạng tử trong A.
\[ B = -\left(4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6\right) \]
\[ B = -4xy^2 - 4xy - \frac{2}{3}x^2y - 6 \]

### c) Tìm đa thức C sao cho \( A + C = -2xy + 1 \)

Để tìm đa thức C sao cho \( A + C = -2xy + 1 \), ta có:
\[ C = -2xy + 1 - A \]

Đầu tiên, ta tính \( -2xy + 1 - A \):
\[ C = -2xy + 1 - (4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6) \]
\[ C = -2xy + 1 - 4xy^2 - 4xy - \frac{2}{3}x^2y - 6 \]
\[ C = -4xy^2 - (2xy + 4xy) - \frac{2}{3}x^2y + (1 - 6) \]
\[ C = -4xy^2 - 6xy - \frac{2}{3}x^2y - 5 \]

**Tóm lại:**
- a) Đa thức đã thu gọn:
\( A = 4xy^2 + 4xy + \frac{2}{3}x^2y + 6 \) và bậc của A là \(3\).
- b) Đa thức \( B = -4xy^2 - 4xy - \frac{2}{3}x^2y - 6 \).
- c) Đa thức \( C = -4xy^2 - 6xy - \frac{2}{3}x^2y - 5 \).