Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và xét dấu của đạo hàm để xác định khoảng đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).

### Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

Hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) có dạng phân thức hữu tỉ. Để tìm đạo hàm của hàm số này, ta sử dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:

\[ y' = \frac{(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}} \]

Trong đó \( u = 2x + 1 \) và \( v = x + 1 \). Đạo hàm của từng phần là:
\[ u' = 2 \]
\[ v' = 1 \]

Áp dụng công thức:
\[ y' = \frac{(2x + 1)'(x + 1) - (2x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} \]
\[ y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \]

### Bước 2: Xét dấu của đạo hàm

Đạo hàm \( y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \) luôn dương trên miền xác định của hàm số (ngoại trừ điểm \( x = -1 \) làm mẫu số bằng 0, hàm số không xác định tại điểm này).

Vì \( (x + 1)^2 \) luôn dương khi \( x \neq -1 \), nên đạo hàm \( y' \) luôn dương trên các khoảng xác định của hàm số.

### Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số

Vì đạo hàm \( y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \) luôn dương trên các khoảng xác định của hàm số, nên hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) là **hàm số đồng biến** trên mỗi khoảng xác định của nó, ngoại trừ điểm \( x = -1 \).

### Kết luận:

Hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, +\infty) \).

Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \), ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra dấu của đạo hàm.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) có thể được đạo hàm bằng quy tắc chia \( \frac{u}{v} \), trong đó \( u = 2x + 1 \) và \( v = x + 1 \).

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

\[
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Với \( u' = 2 \) và \( v' = 1 \):

\[
y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x + 1)(1)}{(x + 1)^2}
\]

Tính tử số:

\[
y' = \frac{2x + 2 - (2x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}
\]

### Bước 2: Xét dấu của đạo hàm

Đạo hàm \( y' = \frac{1}{(x + 1)^2} \) luôn dương vì:
- Mẫu \( (x + 1)^2 > 0 \) với mọi \( x \) khác -1.

### Kết luận

Do \( y' > 0 \) với mọi \( x
eq -1 \), hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 1} \) là hàm số **tăng** trên tập xác định của nó (trừ điểm \( x = -1 \) không thuộc tập xác định).

Hàm số này có nghĩa ở mọi điểm khác \( x = -1 \), và tại tất cả các điểm đó, hàm là đồng biến.