Để khảo sát sự biến thiên của hàm số \( y = (x - 2)^3 + 4 \), ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính đạo hàm

Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số để xác định tính đơn điệu:

\[ y = (x - 2)^3 + 4 \]

Sử dụng quy tắc đạo hàm:

\[ \frac{dy}{dx} = 3(x - 2)^2 \]

### 2. Xét dấu đạo hàm

Đạo hàm bậc nhất là:

\[ \frac{dy}{dx} = 3(x - 2)^2 \]

Do \( (x - 2)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( 3(x - 2)^2 \geq 0 \) và:

- \( \frac{dy}{dx} > 0 \) khi \( x \neq 2 \)
- \( \frac{dy}{dx} = 0 \) khi \( x = 2 \)

### 3. Tính đạo hàm bậc hai

Để xác định tính lồi, lõm và điểm cực trị:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ 3(x - 2)^2 \right] = 6(x - 2) \]

### 4. Xét dấu đạo hàm bậc hai

- Khi \( x > 2 \), \( \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \), hàm số lồi.
- Khi \( x < 2 \), \( \frac{d^2y}{dx^2} < 0 \), hàm số lõm.

### 5. Xác định điểm cực trị

Với hàm số này, \( \frac{dy}{dx} = 0 \) tại \( x = 2 \), và \( \frac{d^2y}{dx^2} = 6(x - 2) \):

- Tại \( x = 2 \), \( \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \), vì vậy điểm này không phải là cực trị (cực tiểu hay cực đại) mà là điểm chuyển tiếp từ lõm sang lồi.

### 6. Xét tính đơn điệu và hình dạng đồ thị

- Hàm số tăng trên khoảng \( (-\infty, 2) \) và trên khoảng \( (2, +\infty) \), vì \( \frac{dy}{dx} > 0 \) trên các khoảng này.
- Tại \( x = 2 \), hàm số có một điểm uốn.

### Tổng kết:

- Hàm số \( y = (x - 2)^3 + 4 \) có một điểm uốn tại \( x = 2 \).
- Hàm số đồng biến trên toàn miền xác định.
- Hàm số có dạng đồ thị của hàm số bậc ba với một điểm uốn và không có điểm cực trị.

Đồ thị của hàm số sẽ có hình dạng như sau: hàm số có hình dạng giống như "s" mở rộng với phần nhô lên và phần lún xuống khi đi qua điểm uốn.

Để khảo sát sự biến thiên của hàm số y=(x−2)3+4y=(x−2)3+4, ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính đạo hàm

Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số để xác định tính đơn điệu:

y=(x−2)3+4y=(x−2)3+4

Sử dụng quy tắc đạo hàm:

dydx=3(x−2)2dydx=3(x−2)2

### 2. Xét dấu đạo hàm

Đạo hàm bậc nhất là:

dydx=3(x−2)2dydx=3(x−2)2

Do (x−2)2≥0(x−2)2≥0 với mọi xx, nên 3(x−2)2≥03(x−2)2≥0 và:

- dydx>0dydx>0 khi x≠2x≠2
- dydx=0dydx=0 khi x=2x=2

### 3. Tính đạo hàm bậc hai

Để xác định tính lồi, lõm và điểm cực trị:

d2ydx2=ddx[3(x−2)2]=6(x−2)d2ydx2=ddx[3(x−2)2]=6(x−2)

### 4. Xét dấu đạo hàm bậc hai

- Khi x>2x>2, d2ydx2>0d2ydx2>0, hàm số lồi.
- Khi x<2x<2, d2ydx2<0d2ydx2<0, hàm số lõm.

### 5. Xác định điểm cực trị

Với hàm số này, dydx=0dydx=0 tại x=2x=2, và d2ydx2=6(x−2)d2ydx2=6(x−2):

- Tại x=2x=2, d2ydx2=0d2ydx2=0, vì vậy điểm này không phải là cực trị (cực tiểu hay cực đại) mà là điểm chuyển tiếp từ lõm sang lồi.

### 6. Xét tính đơn điệu và hình dạng đồ thị

- Hàm số tăng trên khoảng (−∞,2)(−∞,2) và trên khoảng (2,+∞)(2,+∞), vì dydx>0dydx>0 trên các khoảng này.
- Tại x=2x=2, hàm số có một điểm uốn.

### Tổng kết:

- Hàm số y=(x−2)3+4y=(x−2)3+4 có một điểm uốn tại x=2x=2.
- Hàm số đồng biến trên toàn miền xác định.
- Hàm số có dạng đồ thị của hàm số bậc ba với một điểm uốn và không có điểm cực trị.

Đồ thị của hàm số sẽ có hình dạng như sau: hàm số có hình dạng giống như "s" mở rộng với phần nhô lên và phần lún xuống khi đi qua điểm uốn.