Để vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tìm miền xác định
Hàm số không xác định khi mẫu số bằng 0. Do đó, ta giải điều kiện:
\[
x - 1 = 0 \implies x = 1
\]
Vậy miền xác định của hàm số là \( x \in \mathbb{R} \) nhưng \( x
eq 1 \).

### Bước 2: Tính giá trị của hàm số
Chúng ta có thể tính một số giá trị của hàm số để dễ vẽ đồ thị.

- Khi \( x = 0 \):
\[
y = \frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1
\]

- Khi \( x = 2 \):
\[
y = \frac{2 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3
\]

- Khi \( x = -1 \):
\[
y = \frac{-1 + 1}{-1 - 1} = \frac{0}{-2} = 0
\]

Chúng ta có kết quả:
- \( (0, -1) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (-1, 0) \)

### Bước 3: Tìm tiệm cận
- **Tiệm cận đứng**: \( x = 1 \) (tại đây giá trị của hàm số sẽ không xác định).
- **Tiệm cận ngang**: Tính giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \):
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1
\]
\[
\lim_{x \to -\infty} \frac{x+1}{x-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1
\]
Vậy hàm số có tiệm cận ngang \( y = 1 \).

### Bước 4: Vẽ đồ thị
Khi vẽ đồ thị, ta sẽ có các điểm đã tính và biết được tiệm cận. Gợi ý cách vẽ như sau:
- Đánh dấu các tiệm cận đứng \( x = 1 \) và tiệm cận ngang \( y = 1 \) trên hệ trục tọa độ.
- Vẽ các điểm đã tính \( (0, -1) \), \( (2, 3) \), và \( (-1, 0) \).
- Đồ thị sẽ có hình dạng như sau:
- Khi \( x < 1 \), đồ thị sẽ nằm dưới tiệm cận ngang \( y = 1 \) và tiến gần đến tiệm cận đứng.
- Khi \( x > 1 \), đồ thị sẽ nằm trên tiệm cận ngang \( y = 1 \) và cũng tiến gần đến tiệm cận đứng.

### Hình dạng
Đồ thị của hàm số sẽ có dạng như sau:

- Nhánh bên trái nằm dưới \( y = 1 \) và gần cố định đến \( y = 1 \) khi \( x \) về \( -\infty \).
- Nhánh bên phải nằm phía trên \( y = 1 \) và gần cố định đến \( y = 1 \) khi \( x \) về \( +\infty \).

Hãy nhớ rằng, đồ thị này không cắt hoặc chạm vào các đường tiệm cận.